Hilbertin suurehko hotelli

Ensinnäkin, pieni huomautus. Hilbertin hotelli on erittäin klassinen esimerkki, joka esiintyy jotakuinkin jokaisessa populaarimatematiikkaa käsittelevässä kirjassa. Mikäli olet korviasi myöten täynnä Hilbertin hotellia, voit esimerkiksi pelata Christian Lawson-Perfectin alkulukupeliä. Oikeastaan, sitä kannattaa pelata muutenkin.

Tällä ja muutamalla kertaa hyppäämme äärettömyyksien jännittävään maailmaan. Vaikka en kovin syvälle siihen osaa johdattaakaan, aihe on mielestäni äärettömän (anteeksi) monipuolinen ja kiehtova, ajoittain arkijärjen vastainen mutta silti täydellisen looginen. Ensimmäinen kysymys: kuinka suuri on ääretön?

Äärettömyyden käsite on ollut olemassa jossain muodossa jo antiikin ajoista alkaen, mutta sitä alettiin käyttää systemaattisesti vasta 1600-luvulla. Tällöinkään äärettömyys itsessään ei ollut tutkimuksen kohde, pikemminkin hyödyllinen kummajainen jonka kanssa elettiin. Tämä muuttui, kun saksalainen Georg Cantor julkaisi vuonna 1874 tutkimuksensa, jonka mukaan äärettömyyksiä olikin useamman kokoisia. Väite herätti aikakauden matemaatikoissa erittäin suurta vastarintaa, mikä osaltaan aiheutti Cantorin masentumisen loppuelämäkseen.

Cantor kuitenkin oli oikeassa väitteessään, jonka mukaan kaksi ääretöntä joukkoa ovat yhtä suuret vain, kun niiden välille voidaan luoda yksi yhteen -vastaavuus. Tunnetuimman esimerkin tästä ja sen vaikutuksesta äärettömyyksiin esitti niin ikään saksalainen David Hilbert vuonna 1924.

Ääretön hotelli

Hilbertin hotellissa on äärettömän monta huonetta, alkaen numerosta 1 ja päättyen ei minnekään. Hotelli on ilmeisen suosittu, koska jokainen huone on varattu. (Kuten pian huomaamme, vieraat ovat myös erittäin sopeutumiskykyisiä muutoksiin.)

Vastaanottovirkailija ei kuitenkaan pääse vetämään lonkkaa, koska hotelliin saapuu huonetta pyytävä asiakas. Ei hätää, virkailija toteaa, kyllähän täyteen hotelliimme mahtuu aina yksi lisää! Hän pyytää jokaisen huoneen asukasta siirtymään seuraavaan huoneeseen ja kas, huone 1 onkin vapaana!

Seuraavaksi hotellin pihaan kurvaa äärettömän suuri bussi täynnä äärettömän monta matkustajaa, jotka kaikki haluavat majoittua hotelliin. Tälläkään kertaa virkailija ei vastaa kieltävästi. Hän pyytää jokaista hotellin asukasta siirtymään uuteen huoneeseen: huoneesta 1 huoneeseen 2, huoneesta 2 huoneeseen 4 ja niin edelleen. Nyt vain parilliset huoneet ovat täynnä, ja bussilasti mahtuu mukavasti parittomiin huoneisiin.

Vieraiden tulva ei pääty vieläkään. Pihaan saapuu äärettömän pitkä jono äärettömän suuria busseja, kaikki täynnä asiakkaita. Ja kuten arvata saattaa, vastaanottovirkailijalla on homma hallussa. Ensin hän pyytää kutakin vanhaa vierasta siirtymään uuteen huoneeseen numero $$2^\text{vanha numero}$$. Sitten hän numeroi sekä bussit että matkustajat niiden sisällä ykkösestä äärettömään, ja pyytää matkustajia siirtymään huoneeseen numero $$2^\text{paikka bussissa} \cdot 3^\text{bussin numero}$$. Valmista, ja huoneita jäi vielä äärettömästi ylikin! Mikäli virkailija olisi tutustunut kirjallisuuteen paremmin, hän olisi löytänyt useita tapoja olla jättämättä huoneita tyhjiksi... mutta väliäkö sillä.

Yksi yhteen tai sitten ei

Matkailijat ovat tietenkin nerokas metafora luvuille. Vastaanottovirkailija pystyi luomaan yksi yhteen -vastaavuuden jokaisen matkailijan ja huoneen välille. Samalla tavoin vastaavuus on mahdollista luoda luonnollisten lukujen ($$1, 2, 3\dots$$), kokonaislukujen ($$\ldots-2, -1, 0, 1, 2\dots$$) ja rationaalilukujen (muotoa $$\frac{a}{b}$$) välille. Viimeinen kohta on hämmästyttävä, koska rationaalilukuja on paljon tiheämmässä kuin kokonaislukuja: kahden kokonaisluvun väliin voi tunkea äärettömän monta rationaalilukua. Kuitenkin esimerkiksi vastaanottovirkailijan tempulla vastaavuus saadaan muodostettua.

Reaaliluvut eivät kuitenkaan sovi tähän kuvioon. Cantor esitti nokkelan todistuksen tälle väitteelle. Kuvitellaan ääretön joukko reaalilukuja nollan ja ykkösen väliltä, pistettynä vapaavalintaiseen järjestykseen. Seuraavaksi otetaan jokaisesta luvusta järjestysluvun mukainen desimaali...

1.	0,1234...
2.	0,1768...
3.	0,2359...
4.	0,3456...
...

...ja kasataan niistä uusi luku: $$0.1756\dots$$. Seuraavaksi muutetaan jokaista desimaalia: $$0.2867\dots$$. Saadaan luku, joka eroaa jokaisesta joukon luvusta ainakin yhdellä desimaalilla!

Cantor oli osoittanut, että reaalilukuja on enemmän kuin kokonaislukuja tai rationaalilukuja --- reaalilukujen äärettömyys on mahtavampi. Äärettömyyksiä olikin useampia, tarkemmin sanottuna äärettömän monta.

Äärettömyydet voidaan laittaa numerojärjestykseen aleph-luvun mukaan. (Aleph on heprean kielen ensimmäinen kirjain.) Kokonaislukujen numeroituva äärettömyys on $$\aleph_0$$. Ikävä kyllä emme tiedäkään, mikä on $$\aleph_1$$.

On mahdollista olettaa, että reaaliluvut muodostavat seuraavan äärettömyyden, tai että siinä välissä on jotain. Kumpikin oletus toimii olemassaolevan joukko-opin kanssa. Vuonna 1963 Paul Cohen todisti ongelman mahdottomaksi ratkaista, jatkaen Kurt Gödelin 30-luvulla aloittamaa matematiikan sekaannustilaa. Siitä lisää joskus toiste.

Seuraavaksi: Menemme äärettömän lähelle.