Kannattaako Lotto tuplata?

Päivitys 16.2.2017: Loton säännöt uudistuivat joulukuun 2016 vaihteessa. Analysoin uuden pelin eroa aiempaan tekstissä Kuka voittaa uudessa Lotossa?. Allaoleva teksti noudattaa aiempia, julkaisuhetkisiä sääntöjä. Johtopäätös siitä, kannattaako peli tuplata, pätee tosin edelleen.
Päivitys 24.1.2018: Loton tuplaus korvautui plussaamisella. Analysoin muutosta (ja sitä, miksi lottoamisessa ehkä onkin järkeä) tekstissä Kannattaako Lotto plussata?

---

Viimeksi tutkimme Lomatonni-pelin odotusarvoa. Huomasimme, että pelissä häviää väistämättä pitkällä juoksulla, mutta suuren voiton mahdollisuus saa meidät pelaamaan. Lomatonni on kuitenkin pieni ja yksinkertainen peli: siinä on vain 6000 vaihtoehtoa ja suurin palkinto on tuhat euroa. On aika siirtyä lauantai-illan Lottoon.

Ensinnäkin, Lotossa voitto ei ole vakio. Voitot jaetaan voittaneiden kesken monimutkaisen näköisellä systeemillä, ja potin koko vaihtelee. Koska olen laiska, käytän tässä jutussa keskimääräisiä voittoja toukokuun 2016 peleissä. En painota niitä mitenkään, vaan pyrin tällä esittämään tyypillisen viikon peliä. On tärkeää huomata, että voiton ollessa poikkeuksellisen suuri ihmisten pelikäyttäytyminen muuttuu. Taulukko näyttää seuraavalta:

7 oikein	3 250 000 €
6+1 oikein	69 170 €
6 oikein	2 450 €
5 oikein	230 €
4 oikein	10 € (kiinteä)

Säännöt ovat seuraavat: arvotaan luvuista 1-39 seitsemän numeroa ja kaksi lisänumeroa. Yhdessä rivissä on seitsemän numeroa (emme tarkastele haravasysteemiä), ja oikein menneiden numeroiden määrä määrittää voiton. Lisäksi arvotaan tuplausnumero, jonka sattuessa riviin mahdollinen voitto kaksinkertaistuu. Rivin hinta on 1 euro ja tuplauksella 1,25 euroa.

Kombinaatiot

Tutkitaan ensin kaikkien tapausten lukumäärää, eli sitä kuinka monta lottoriviä on olemassa. Rivin ensimmäiseksi numeroksi on 39 mahdollisuutta, seuraavaksi 38 ja niin edelleen. Lisäksi huomioidaan, että numeroiden järjestyksellä ei ole väliä. Matemaatikko lausuu "39 valitse 7" ja kirjoittaa:

\[ \begin{align*} {39 \choose 7} &= \frac{39!}{7!\cdot(39-7)!}\\ &= \frac{39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \end{align*} \]

Tulos on sangen suuri: suunnilleen 15,4 miljoonaa. Tämä tarkoittaa myös sitä, että 7 oikein -tuloksen todennäköisyys on yksi 15,4 miljoonasta eli suomeksi sanottuna häviävän pieni. Täydellinen taulukko eri tulosten todennäköisyyksistä löytyy Veikkauksen sivuilta. (Näiden lukujen johtaminen jätettäköön harjoitukseksi motivoituneelle lukijalle.)

Haluan kiinnittää huomiota vielä yhteen asiaan ennen kuin siirrymme odotusarvoon: mikä on todennäköisin tulos? Vastaus ei olekaan nolla oikein! Noin 41% todennäköisyydellä saa tasan yhden numeron oikein. "Vain" 22% peleistä päättyy totaaliseen pettymykseen.

Odotusarvon paluu

Nyt voimme laskea lottorivin odotusarvon. Kuten viime kerralla nähtiin, se lasketaan kertomalla kunkin voiton määrä ja todennäköisyys. Pidemmittä puheitta edellämainituilla tiedoilla lauseke näyttää tältä:

\[ \begin{align*} &\quad 3250000€ \cdot \frac{1}{15380937} + 69170€ \cdot \frac{14}{15380937} + 2450€ \cdot \frac{210}{15380937} + 230€ \cdot \frac{10416}{15380937} + 10€ \cdot \frac{173600}{15380937}\\ &\approx 0.5763 €\\ &\approx 0.58 € \end{align*} \]

Kuten odotettavissa olikin, keskimääräinen voitto on rivin hintaa pienempi --- tässä tapauksessa takkiin tulee 42 senttiä per peli. Vaihtelu on suurta potista riippuen, mutta voitolle ei pääse. Entä miten käy kun peli tuplataan?

Tehdäänpä ensin ajatuskoe: mitä jos voitto olisi aina kaksinkertainen? Tällöin odotusarvokin tuplautuisi 1,16 euroon... joka on edelleen vähemmän kuin tuplausrivin hinta! Todellisuudessa odotusarvo ei ole niinkään suuri, koska vain $$\frac{7}{39}$$ riveistä sisältää tuplausnumeron. Oikea odotusarvo on

\[ \begin{align*} &\quad 2 \cdot 0.5763 € \cdot \frac{7}{39} + 0.5763 € \cdot \frac{32}{39}\\ &\approx 0.6797 €\\ &\approx 0.68 € \end{align*} \]

25 sentin lisäpanoksella odotusarvo kasvaa vain 10 senttiä. Toisaalta, mikäli voitto sattuisi tulemaan, se olisi varmasti makoisampi kuin ilman tuplausta --- ja tuplaamatta jättäminen harmittaisi! Siksi tuplaus on tehokas keino kasvattaa Veikkauksen tuloja. Rahapelit ovat jännittävää leikkimistä ihmismielellä, ja ainahan joku voittaakin. Vähintäänkin valtion kassa.

Ensi kerralla: Peli, jota kannattaakin pelata!

---

Lisäpohdintaa:

• Kirjoitin ensimmäisen luonnoksen tästä tekstistä kesäkuussa käyttäen toukokuun lottotuloksia. Päivittäessäni sitä lopullista julkaisua varten, laskin myös elokuun tulokset. Potit olivat paljon pienempiä, ja rivin odotusarvo putosi siksi 25 senttiä! Näin pienellä otoksella suuri vaihtelu ei ole ihme, mutta luvut ovat riittävän oikeannäköisiä minulle.