Lomatonni ja odotusarvo

Erilaiset rahapelit ovat klassinen aihe todennäköisyyslaskennassa ja varsinkin sen opettelussa. Muutaman seuraavan jutun aikana aion esitellä joitakin peruskäsitteitä rakkaan rahapeliyhtiömme Veikkauksen pelien kautta. Aloittakaamme ensiksi ihan yksinkertaisesti. Tähän tarkoitukseen sopii erinomaisesti uudehko Lomatonni-peli.

Säännöt ovat seuraavat: arvotaan kaupunki ja luku. Kaupunkeja on 60 ja lukuja sata. Jokaiseen riviin valitaan kumpiakin yksi. Mikäli kaupunki ja luku ovat oikein, voittaa tuhat euroa --- mikäli vain kaupunki on oikein, voittaa vitosen. Muissa tapauksissa ei saa mitään. Yksi rivi maksaa puoli euroa.

Todennäköisyys

Tämä lienee arkijärjelläkin tuttu juttu: kuinka suuri osa riveistä voittaa. Esimerkiksi kaupunkeja on pelissä 60 ja rivissä yksi, joten kaupungin saa oikein $$\frac{1}{60}$$ todennäköisyydellä. Murtoluvun voi ilmaista monella tapaa: $$\frac{1}{60} \approx 0.0167 \approx 1.67\%$$, mutta merkinnällä ei ole väliä.

Vastaavasti luku osuu oikeaan $$\frac{1}{100}$$ todennäköisyydellä. Entä kuinka todennäköisesti tulevat sekä kaupunki että luku? Tämä toteutetaan kertolaskulla:

\[ \begin{align*} &\quad \text{kaupunki oikein JA luku oikein}\\ &= \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{100}\\ &= \frac{1}{6000}\\ &\approx 0.0167 \% \end{align*} \]

Yksi rivi kuudestatuhannesta voittaa täyden summan. Entä kuinka moni rivi voittaa joko päävoiton tai pienemmän kaupunkivoiton? Tässä kohtaa peliin astuu yhteenlasku:

\[ \begin{align*} &\quad \text{kumpikin oikein TAI kaupunki oikein}\\ &= \frac{1}{6000} + \frac{1}{60}\\ &= \frac{101}{6000}\\ &\approx 1.68 \% \end{align*} \]

Pieni voitto tulee sata kertaa todennäköisemmin kuin suuri voitto, mutta voiton todennäköisyys näyttää silti varsin pieneltä: hieman yli yksi kuudestakymmenestä rivistä voittaa. Kannattaako tätä peliä siis pelata?

Odotusarvo

Odotusarvo on hieman abstraktimpi käsite. Se kuvaa keskimääräistä voittoa, kun pelejä pelataan paljon. Se ei siis kuvaa vaikkapa todennäköisintä tulosta, ja kuten tulemme myöhemmin huomaamaan, se ei ole täydellinen päätöksenteon väline. Se kuitenkin antaa arvokasta tietoa pitkällä tähtäimellä pelaavalle taikka rahapeliyhtiölle itselleen.

Odotusarvo Lomatonnille lasketaan laskemalla yhteen jokaisen voiton arvo kerrottuna sen todennäköisyydellä. Eli:

\[ \begin{align*} &\quad \text{voitto + kaupunkivoitto}\\ &= \frac{1}{6000} \cdot 1000€ + \frac{1}{60} \cdot 5€\\ &= 0.25€ \end{align*} \]

Tämä tarkoittaa, että pelaamalla monta peliä voittaa 25 senttiä per peli. Yksi ihminen ei voi yhdessä pelissä mitenkään voittaa tätä summaa, mutta mikäli tämä ihminen pelaisi todella monta peliä --- tai tutkittaisiin kaikkia yhdellä kierroksella pelaavia --- keskimääräinen voitto olisi noin 25 senttiä.

Tähän mennessä on puhuttu vain voitosta, mutta huomioon täytyy ottaa myös rivin hinta. Kun rivi maksaa puoli euroa ja sillä voittaa keskimäärin 25 senttiä, jokainen rivi tuottaa pelaajalleen keskimäärin 25 senttiä tappiota. Vastaavasti Veikkaus hyötyy jokaisesta pelistä 25 senttiä.

Näinhän asian on oltavakin; Veikkaus ei tarjoaisi peliä, jossa se häviäisi rahaa. Miksi ihmiset sitten pelaavat uhkapelejä? Täydellinen vastaus jätettäköön psykologiaa ymmärtäville, mutta ihminen ajattelee riskin sijaan monituhatkertaista voittoa. Puolen euron riski ei ole niin suuri, että laskisimme sen todelliseksi tappioksi, varsinkin kun Veikkaus muistuttaa osuutensa päätyvän yleishyödyllisiin kohteisiin.

Seuraavalla kerralla: Siirrymme Lottoon ja pohdimme, kannattaako rivi tuplata.

---

Lisäpohdintaa:

• Nämä todennäköisyydet on laskettu sillä oletuksella, että Veikkaus pelaa reilusti. Häijy rahapeliyhtiöhän voisi manipuloida tuloksia painottamalla vähemmän valittuja kaupunkeja/numeroita, mutta kiinnijäämisen seuraukset olisivat vakavat.
• Jordan Ellenbergin erinomaisessa kirjassa How Not to Be Wrong kerrotaan yhdysvaltalaisesta lottopelistä, jossa tietyillä kierroksilla odotusarvo ylitti rivin hinnan. Useampi pelaajaryhmä alkoi hyödyntää tätä ominaisuutta lypsääkseen rahaa pelistä. Tästäkin huolimatta pelin järjestäjä voitti, koska potti muodostui pelkästään rivien myynnistä.