Onko odotusarvo pätevä mittari?

Kahden viimeisen jutun aikana olemme käsitelleet odotusarvoa eli keskimääräistä tulosta. Odotusarvossa on kuitenkin puutteensa, joiden takia se ei sellaisenaan kelpaa päätöksentekoon.

Mikäli tapahtuma on epätodennäköinen mutta merkittävä, odotusarvo tapahtumalle saattaa jäädä pieneksi. Kuvitellaanpa vaikka arvotaulu, hinnaltaan miljoona euroa. Todennäköisyys, että tällainen taulu varastetaan, on sangen pieni: olkoon se vaikka 0,01 prosenttia. Tällöin menetyksen odotettu arvo on

\[ 1000000€ \cdot 0.01\% = 100€ \]

Kannattaisiko taululle hankkia tuhannen euron vakuutus? Ehdottomasti! Vaikka odotusarvo onkin pieni, vaihtoehtoja on oikeasti vain kaksi: menettää tuhat euroa tarpeettomaan vakuutukseen tai menettää miljoona euroa. Jälkimmäinen isku on valtava yksittäiselle taulunomistajalle; odotusarvo ei kelpaa päätöksentekoon. Vakuutusyhtiön näkökulmasta puolestaan on järkevää laskeskella odotusarvoja, koska se pyrkii hinnoittelemaan tuhansia vakuutuksia niin, että jää itse voitolle.

Samankaltaista logiikkaa käyttävät lottoajatkin: keskimäärin pelissä menettää rahaa, mutta kymmenen miljoonaa voittanut tuskin katuu päätöstään pelata!

Pietarin paradoksi

Toinen esimerkki odotusarvon puutteista on Pietarin paradoksina tunnettu peli. Idean kehitti 1700-luvun alussa Nicolas Bernoulli, ja hänen serkkunsa Daniel kehitti ensimmäisen ratkaisun siihen kolmisenkymmentä vuotta myöhemmin. Bernoullin nimi esiintyy useammassa matemaattisessa käsitteessä, mutta kyse ei ollut vain kahdesta henkilöstä: sveitsiläisessä suvussa oli useita lahjakkaita matemaatikkoja kolmessa peräkkäisessä polvessa.

Peli on yksinkertainen: Aluksi potissa on kaksi euroa. Heitetään kolikkoa --- kruunan tullessa potti kaksinkertaistuu ja klaava tarkoittaa pelin päättymistä. Esimerkiksi jos kahdella ensimmäisellä kierroksella tulee kruuna ja kolmannella klaava, potti kaksinkertaistuu neljään ja sitten kahdeksaan euroon. Kolmannella kierroksella pelaaja saa potissa olevat kahdeksan euroa.

Kysymys kuuluu: Kuinka paljon pitäisi maksaa saadakseen pelata tätä peliä?

Kuten muistamme, pelin tarjoajan on jäätävä voitolle pitkässä juoksussa. Pitkää juoksua mallintaa hyvin odotusarvo, joten laskekaamme se tälle pelille.

Ensimmäisellä kierroksella voittaa kaksi euroa, mikäli saa klaavan. Klaava tulee keskimäärin $$\frac{1}{2}$$ heitoista, joten ensimmäisen kierroksen odotusarvo on $$\frac{1}{2} \cdot 2€ = 1€$$.

Jotta voittaisi neljä euroa, täytyy saada ensin kruuna ja sitten klaava. Tämän todennäköisyys on $$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$$, joten toisen kierroksen odotusarvo on $$\frac{1}{4} \cdot 4€ = 1€$$.

Koska kruuna voi tulla vaikka kuinka monta kertaa (se vain on epätodennäköistä), emme voi lopettaa odotusarvon laskemista. Kyseessä on sarja, jossa on äärettömän monta termiä. Tällaistenkin sarjojen summa on kuitenkin monasti mahdollista laskea:

\[ \begin{align*} &\quad \frac{1}{2} \cdot {2€} + \frac{1}{4} \cdot {4€} + \frac{1}{8} \cdot {8€} + \ldots\\ &= 1€ + 1€ + 1€ + \ldots\\ &= \infty € \end{align*} \]

...Hetkinen. Tämän pelin odotusarvo on ääretön! Suurempien summien koko kumoaa niiden epätodennäköisyyden, joten jokainen kierros tuo keskimääräiseen pottiin euron lisää. Tämähän tarkoittaa sitä, että tätä peliä kannattaa pelata aina!

Ja oletettavasti tässä kohtaa hälytyskellot alkavat soida. Tämä peli ei käy järkeen. Ensimmäinen este on käytännöllinen: rahaa ei ole äärettömästi. Mikäli kasino rajoittaisi potin miljoonaan euroon, peli voisi jatkua 20 kierrosta. Tällöin pelin odotusarvo rajautuisi noin kahteenkymmeneen euroon. Kasino hinnoittelisi pelin hieman sen yläpuolelle, ja suurin osa (97%) pelaajista häviäisi rahaa. Joskus --- harvoin mutta kuitenkin --- kasino menettäisi erittäin paljon.

Palatkaamme vielä teoreettiseen peliin, jossa rahaa voi saada ilman rajoja. Daniel Bernoulli lähti ratkaisemaan kysymystä, onko oikeastaan väliä, saako sata miljardia vai kaksisataa miljardia. Varallisuus on suhteellista: tuhat euroa on kiitettävä lisä opiskelijan tonnikalabudjettiin, mutta pölyhiukkanen monimiljonäärin kassassa.

Bernoullin ratkaisu oli tarkastella rahan sijaan saatavaa hyötyä, joka toimii logaritmisesti rahaan nähden. Tällöin kaksi euroa vastaisi yhtä yksikköä, neljä euroa kahta, kahdeksan euroa kolmea ja niin edelleen. Tällöin pelin odotusarvo pelaajalle ei olekaan ääretön, vaan varsin pieni: kaksi yksikköä eli neljä euroa. Tätä enempää ei kannattaisi maksaa osallistumisesta.

Tämäkin idea hajoaa kuitenkin heti, kun pelin sääntöjä muutetaan: jos $$k$$ tuplauksen jälkeen potti onkin $$2^{2^k}$$ (2 €, 4 €, 16 €, 256 €...), odotusarvo on äärettömän monta yksikköä! Tälle pelille voi aina luoda säännöt, joilla sen odotusarvo on ääretön.

Olisiko tässä riittävästi rahapeleistä? Seuraavaksi muita aiheita, mutta jätä ihmeessä palautetta!