Yksinkertaisuudessaan kaunis todistus

Seuraavan erinomaisen todistuksen on luonut Dov Jarden. Vapaasti suomennettuna se menee näin:

Yksinkertainen todistus, että irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin voi olla rationaalinen.

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Jos se on rationaalinen, väite on tosi. Jos se on irrationaalinen, $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 2$ todistaa väitteen.

Tämä on aivan nerokas tapa todistaa väite. Riippumatta siitä, onko $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ rationaalinen, lauseke saadaan muokattua väistämättä rationaaliseksi:

1. Tiedetään, että $\sqrt{2}$ on irrationaalinen --- sitä ei voi kirjoittaa murtolukuna.
2. Tällöin $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
3. Jos $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ on rationaalinen, väite on tosi.
4. Jos se ei ole, $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ on irrationaalinen.
5. Tällöin $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
6. Se on kuitenkin rationaaliluku $\sqrt{2}^2 = 2$. Väite on tosi.

Kyseessä on eksistenssitodistus, joka todistaa väitteen, muttei ota kantaa kummalla ylläolevista tavoista. Tällaisten ratkaisujen takia pidän matemaattisesta todistamisesta!

---

• Muilla keinoilla voidaan osoittaa, että $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ on irrationaalinen. Se on myöskin transkendentti: se ei ole minkään rationaalikertoimisen polynomin nollakohta.