Harppi ja viivain

(Tasasivuisen kolmion piirtäminen harpilla ja viivaimella.)

Geometria syttyi kukoistukseensa antiikin Kreikassa. Aiemmat kansat olivat kyllä mitanneet kuvioita ja tehneet oikeaoppisia päätelmiä, mutta geometria ei vielä loistanut tieteenalana. Muinaiset babylonialaiset ja egyptiläiset, kummatkin jo 3000-2000 eaa. alkaen, osasivat laskea kolmion alan ja tunsivat Pythagoraan lauseen. Toisaalta vaikkapa nelikulmion alan laskemiseen oli mitä luovimpia päin paikallista puulajia olevia kaavoja.

Luultavasti kaikkien aikojen tunnetuin geometrikko on Eukleides Aleksandrialainen. Eukleideesta tiedetään hyvin vähän — hän vaikutti vuoden 300 eaa. tienoilla Aleksandriassa, jossa hän ilmeisesti opetti yliopistoa muistuttavassa laitoksessa. Kaikki elämäkerrallinen tieto on kirjattu vasta vuosisatoja myöhemmin. Se, mitä hänestä on jäänyt jäljelle, ovat hänen kirjansa. Hänen tutkielmansa peileistä ja perspektiivistä ovat säilyneet, mutta kartioleikkauksista kertovat työt ovat kadonneet. Hänen päätyönsä on kuitenkin oppikirjaksi luotu Alkeet.

Alkeet (muinaiskreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa) on matematiikan historian bestseller. Sitä käytettiin oppikirjana aina 1900-luvun taitteeseen asti, koska sen 13 kirjaa käsittävät lähes kaiken aikanaan tunnetun matematiikan geometriasta lukuteoriaan. Eukleides ei itse keksinyt kuin joitakin todistuksia: hänen saavutuksensa oli tiedon järjestäminen yhdeksi loogiseksi järjestelmäksi.

Eukleideen menetelmä oli tiukan deduktiivinen: jokainen lause todistettiin käyttäen vain aiempia tietoja, joskin muutamassa alkupään todistuksessa tämä ei täysin toteudu. Kaiken lähtökohtana oli viisi alkuoletusta eli aksioomaa, jotka ovat varsin ilmeisesti tosia:

1. Kahden pisteen välille voidaan piirtää suora.
2. Suorasta voidaan erottaa jana.
3. Pisteestä ja säteestä voidaan piirtää ympyrä.
4. Kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria, eli kulman suuruus ei riipu sen sijainnista.
5. Yhdensuuntaiset (eroavat) suorat eivät kohtaa toisiaan koskaan. Tämä on varsin vaikeasti määritelty, ja 1800-luvulta asti on tiedetty, että se on turha rajoitus. Se tosin on toinen tarina.

Nämä alkuoletukset vastaavat kahta geometrikon työkalua, harppia ja viivainta. Näissä on kuitenkin tiukat rajoitukset: Viivain on merkitsemätön, joten sillä ei voi mitata. Harppi puolestaan sulkeutuu heti, kun se nostetaan paperista, joten silläkään ei voi siirtää viivaa paikasta toiseen.

Sulkeutumisehto on hieman keinotekoinen, koska olemassa oli sulkeutumattomia harppeja. Eukleides halusi kuitenkin lähteä mahdollisimman vähistä alkuoletuksista. Jo Alkeiden kolmas lause tuottaa tavallisen harpin, jota voidaan siis käyttää kaikkialla.

Ensimmäinen kirja käy läpi suuresti lukion geometrian kurssilta tuttuja sisältöjä. Otsikkokuvan rakennelma on esitelty heti ensimmäisessä lauseessa. Toinen kirja esittelee geometrisen algebran, joka on nykyistä kirjainlaskentaamme vastaava menetelmä. Kolme kirjaa on varattu lukuteorialle, josta osa on niin ikään lukiokurssilta tuttua, mutta toteutettuna geometrisesti.

Tällaisista lähtökohdista kreikkalaiset rakensivat täsmällisen geometriansa, joka vei matematiikkaa valovuosia eteenpäin. Keskiviikkona tutustumme ongelmiin, joita he eivät osanneetkaan ratkaista.