Normaaleja lukuja

\[ 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,\dots \]

Keksitkö kaavan? (Vastaus seuraavassa kappaleessa.) Kolakoskin sarja on loputon lukujono, joka koostuu pelkästään ykkösistä ja kakkosista. Sen kehitti alkujaan Rufus Oldenburger vuonna 1939, mutta tunnetuksi sen teki William Kolakoski vuonna 1965 julkaistussa artikkelissaan. Siitä lähtien on ihmetelty, onko jonossa yhtä paljon ykkösiä ja kakkosia.

Ensinnäkin, sääntö lukujonon taustalla: Jono viittaa itseensä. Siinä on yksi ykkönen, kaksi kakkosta, kaksi ykköstä, yksi kakkonen ja niin edelleen. Se siis kuvaa, kuinka pitkiä vuorottelevien ykkösten ja kakkosten sarjat ovat.

Tähän lukujonoon liittyy joukko avoimia kysymyksiä. Tiedetään, että jono ei toista itseään, mutta löytyykö jokainen pätkä sitä useammin kuin kerran? Entä löytyykö jokaisen pätkän takaperin käännetty versio? Entä ykköset ja kakkoset keskenään vaihdettu versio?

Näyttäisi siltä, että ykkösiä ja kakkosia on yhtä paljon, ainakin ensimmäisten $10^{13}$ termin perusteella. Veikkauksia on osoitettu kuitenkin vääräksi paljon isommillakin luvuilla, joten kokeileminen ei riitä alkuunkaan. Ensimmäiset 300 miljoonaa numeroa viittasivat siihen, että toisia olisikin hiukan enemmän — mikään ei estä uudempaa arviota olemasta niin ikään väärässä. Aukotonta todistusta asialle ei ole.

Mikäli ykkösiä ja kakkosia on yhtä paljon, Kolakoskin sarja on yksinkertaisesti normaali. Yksinkertaisesti normaali luku on sellainen, jossa jokaisella numerolla on yhtä suuri todennäköisyys esiintyä sattumanvaraisessa kohdassa — Kolakoskin sarjassa se tarkoittaa kummallekin numerolle $\frac{1}{2}$ todennäköisyyttä.

Kysymys pätkien toistuvuudesta puolestaan vihjaa laajempaan normaaliuden käsitteeseen. Luvun sanotaan olevan normaali, mikäli jokainen lukujono esiintyy siinä yhtä todennäköisesti. Esimerkiksi pätkien $1212$ ja $1221$ tulisi olla yhtä yleisiä. Toisaalta määritelmää pitää hieman vääntää, jotta se sopisi Kolakoskin sarjaan: vaikkapa $111$ on mahdoton eikä siksi esiinny kertaakaan.

Sen sijaan muun muassa Champernownen luku

\[ 0.123456789101112\dots \]

on normaali varauksin. Se on muodostettu kirjoittamalla kaikki luonnolliset luvut peräkkäin, joten ei ole mikään ihme, että jokainen lukujono löytyy siitä. Tämäkään luku ei täytä täydellistä normaalin luvun määritelmää, vaikka se on normaali kymmenjärjestelmässä kirjoitettuna. On nimittäin täysin mahdollista, että jossakin toisessa lukujärjestelmässä se ei olisikaan sitä. Normaali luku on normaali riippumatta järjestelmän valinnasta.

Tästä seuraa taas kerran kummallinen piirre: Meillä ei ole yhtäkään esimerkkiä täysin normaalista luvusta. Tiedetään joitakin teoreettisia lukuja, jotka ovat normaaleja, mutta osa niistä on mahdottomia määrittää. Tuttujen irrationaalilukujen $\sqrt 2$, $\pi$ ja $e$ uskotaan olevan mahdollisesti normaaleja, mutta todistusta asialle ei ole. Ja mikä oudointa, tiedetään, että lähes kaikki luvut ovat normaaleja!

Ja entäpäs tutut arkipäiväiset lukumme? Ne ovat epänormaaleja.