Muutama päässälaskuvinkki

Koska edellinen tekstini koevinkeistä sai suhteellisen paljon huomiota, käsittelen vielä toistakin koulussa ja muuallakin hyödyllistä aihetta: päässälaskun jaloa taitoa. Päässälaskutaito on mitä ilmeisimmin heikentynyt aika rajusti viime vuosina, mikä on valtava sääli. Mielestäni päässälaskutaidon ja matematiikan ymmärtämisen välillä on jonkinlainen suhde.

Tunnustan olevani päässälaskuintoilija, jolla on kohtalaisen hyvä numeropää. En koskaan hankkinut yhtälöitä pyörittävää älylaskinta, vaan luotin itseeni ja kuvan laskimeen, jolle varmaan nauretaan lyhyessäkin matikassa. (Lainasin CAS-laskimen tarkistusavuksi ylioppilaskokeeseen, mikä kyllä kannatti.) Vaikka en olisi kieltämässä älylaskimia, kannatan kyllä niiden välttämistä. Päässälasku ja peruslaskimeen rajoittuminen parantavat numeropäätä valtavasti.

Enemmittä puheitta, mennään asiaan. Päässälaskulla tarkoitan tässä sekä puhtaasti päässä tapahtuvaa että paperia hyödyntävää toimintaa. Vinkit ovat omiani, painottuvat jonkun verran pitkään matikkaan, eikä niillä ole takuuta.

Laita laskin syrjään

Päässälaskua oppii parhaiten harjoittelemalla. Nykyisten päässälaskuosion sisältävien yo-kokeiden ansiosta sopivia tehtäviä tulee runsaasti vastaan lukiossa, ja aika moni muukin tehtävä onnistuu ilman älylaskinta. Älä siis mene helpointa tietä!

Laske kaikkea mitä vastaan tulee. Laske ostosten hintoja. Jaa ohiajavan bussin numero tekijöihin. Ihan mitä vaan aivojen ollessa tyhjäkäynnillä. Treeniä kertyy yllättävän paljon!

Ratkaise omilla aivoilla

Ratkaise yhtälöitä käsin, niin helppoja kuin vaikeitakin, vaikka älylaskimen Solve-toiminto olisi houkuttelevan lähellä. Päässä ratkaiseminen antaa erilaisen tuntuman tehtävään, ja joudut joka tapauksessa osaamaan ratkoa yhtälöitä kokeen päässälaskuosassa. Parempi harjoitella enemmän kuin vähemmän!

Toisaalta älylaskin on erinomainen tarkistusapu, ja sillä voi säästää aikaa ja potentiaalia virheille. Sitä kannattaa käyttää kokeessa kun voi. Kuitenkin kannattaa osata ratkoa itse sen verran, että huomaa pieleen menneen laskimenkäytön!

Opettele kaavoja

CAS-laskin on ihana apu derivoidessa, mutta kuinkas sujuu ilman sitä? Mitenkäs se kartion tilavuus taas saatiinkaan? Vastaukset löytyvät taulukkokirjasta, mutta menoa nopeuttaa kummasti, kun kaavat ovat jotenkin mielessä. Peruskaavat ovat loppujen lopuksi aika yksinkertaisia, ja aiheen ymmärtäminen johtaa pienellä vaivalla niiden osaamiseen. (Ei välttämättä toisinpäin!)

Mikäli sinulla on parempaa tekemistä kuin päntätä kaavoja, ymmärrän. Sitä varten taulukkokirja on. Ja vaikka osaisitkin kaavat, ne on todella hyvä tarkistaa kirjasta kokeen aikana. Mutta älä vain sano, ettet tiedä miltä sivulta mikäkin löytyy! Siitä tulee yllätystentti keskellä yötä. (Loppuhuomautuksena on tarina siitä, mitä tapahtuu jos ei käytä kirjaa.)

Palauta alakoulu mieleesi

Laskimet tulevat peliin joskus yläkoulussa. (Kiitos opettajalleni, joka käytti niitä mahdollisimman vähän tunneilla ja piti päässälaskukokeita!) Suunnilleen samaan aikaan allekkainlasku ja jakokulma katoavat mielestä.

Ne ovat aika kivoja juttuja. Kynän ja paperin kanssa pääsee varsin pitkälle. Kannattaa siis palauttaa mieleen, miten ne menivätkään! (Taas kerran: laskinta kannattaa käyttää kun voi, mutta silloin tällöin on hyvä haastaa itseään. Älä odota kokeeseen asti!)

Osaa kertotaulut

Toinen alakoulun suosikki, jolla on yllättävän paljon hyötykäyttöä. Pikatesti: kuinka paljon on $\sqrt{49}$?

Ensinnäkin, pienten lukujen kertolasku on yleistä. Toisekseen, tekijöihin jaossa käsittelet pieniä lukuja. Kolmanneksi, tarvitset pienten lukujen neliöitä — kumpaankin suuntaan. Kokeentekijät rakastavat pieniä lukuja.

Jaa tekijöihin

Murtolukujen supistaminen, jakolaskut, lukuteoria. Tekijöihin jaolle on monta käyttötarkoitusta. Siksi se on kätevää osata jossain määrin. Useimmat jaollisuussäännöt ovat helppoja oppia, eikä pienten alkulukujen lista ole tolkuttoman pitkä.

Häpeilemätön mainos: Tämä on niin hauskaa, että tein siitä abivuonna mobiilipelin. Saatavilla Androidille ja Windows-puhelimille, mutta ei valitettavasti iLaitteille.

Murtoluvut ovat ystäviä

Toinen pikatesti: kuinka paljon on $0.889 \cdot 0.75$? Entäpä $\dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{3}{4}$?

Pitämällä murtoluvut mahdollisimman pitkään murtolukuina pystyt harrastamaan tehokasta supistamista ja laskut pysyvät yleensä helpohkoina. Isona plussana luvut ovat tarkkoja toisin kuin ensimmäisessä esimerkissä!

Välihuomautus: sekaluvut

Ymmärrän sekaluvun, kuten $9\frac{3}{4}$, käytön tehtävänannossa ja vastauksessa. Laskennassa ne kuitenkin tuottavat monimutkaisuutta ja näyttävät huolestuttavan paljon kahden luvun kertolaskulta. Voin olla väärässä, mutta tähän mennessä en ole löytänyt niistä suurta iloa.

Ryhmittele

Jaa iso ongelma pienemmiksi. Tämä on enemmän intuitiivinen ja yksilöllinen juttu, joten annan vain kaksi esimerkkiä, miten minä laskisin päässäni. Kehitä omaa tekniikkaasi — itse ainakin huomaan suosivani tietynlaisia jakoja.

• $52^2$. Tässä voisin käyttää muistikaavaa $(a + b)^2$ seuraavalla tavalla: $(50+2)^2 = 50^2 + 2\cdot 2 \cdot 50 + 2^2$. Jälkimmäiset kaksi ovat $200 + 4$, ja ensimmäinen on $(5 \cdot 10)^2 = 25 \cdot 100 = 2~500$. Yhteensä siis $2~704$.
• $\dfrac{674}{3}$. Ensinnäkin $\dfrac{600}{3}=200$. Jää $74 = 60 + 12 + 2$. Tämä jaettuna kolmella on $20 + 4 + \dfrac{2}{3}$. Siis vastaus on $224 + \frac{2}{3}$.

Pyöristä ja kokeile

Olen kirjoittanut Fermi-arvioista jo useampaan kertaan. Syy siihen on, että 1) pidän siitä, 2) se toimii. Alkuarvauksen tekeminen on hyvä käyttötarkoitus (ja harjoitus!) päässälaskulle. Pyöristä luvut vaikkapa yhteen merkitsevään numeroon, jolloin ne pysyvät helposti laskettavina.

Esimerkki: laske tilavuus ympyräkartiolle, jonka säde on $2.1~\mathrm{cm}$ ja korkeus $5.8~\mathrm{cm}$.

Kaava tälle olisi $\dfrac{1}{3} \pi r^2 h$. Alkuarvaukseen sopivilla pyöristyksillä se on $\dfrac{3}{3} \cdot (2~\mathrm{cm})^2 \cdot 6~\mathrm{cm} = 24~\mathrm{cm}^3$. Tarkka arvo on samaa suuruusluokkaa, vaikka parilla kuutiosentillä eroaakin.

Osaa nämä luvut ulkoa

Tietenkin oman maun mukaan ja sopivin lisäyksin. Täältä pesee suppea lista luvuista, joita itse pidän tarpeellisina:

• Jo aiemmin mainitut kertotaulut. Neliöt voi olla hyvä osata ainakin kolmeentoista asti.
• Kuutiot ainakin viiteen asti.
• Kakkosen potenssit. Näitä tarvitsee harvemmin ellei puuhaile tietokoneiden parissa, mutta niitäkin näkee. Viisi on hyvä alku ja kymmenen reilusti.
• Alkuluvut. Tekijöihin jako perustuu näihin, ja lukuteorian tehtävissä niistä on iloa. Nämä ovat helppoja siitä, että niitä ei esiinny kertotauluissa tuloksina. Kahtakymmentä pienemmillä pääsee pitkälle. (Mainos: sekä oma että Christian Lawson-Perfectin peli ovat harjoitusta ja hupia innostuneille.)
• Pienten lukujen käänteisluvut, eli $\dfrac{1}{n}$ arvot kymmeneen asti. Vaikka murtoluvut ovatkin ystäviä, näiden desimaalimuodot ovat yllättävän tunnistettavia. ($\frac{1}{7}$ esiintyy seuraavassa kappaleessa!)
• Se klassinen ulkoaopetteluvakio eli $\pi$. Pari-kolme desimaalia riittää; itse opettelin täysin liikaa, nimittäin $\pi = 3.141592653589\dots$.
• Luonnollisen logaritmin kantaluku $e$. $2.718$ on hyvä likiarvo, ja vähempikin riittää täysin päässä laskiessa.
• Kakkosen neliöjuuri on hämmästyttävän yleinen, ja sille toimii likiarvo $1.414$. Aina välillä sitä tarvitaan käänteislukuna, joka on suunnilleen $0.707$. Huomaatko kuvion?
• Trigonometrian tehtävissä on kätevää osata muistikolmiot, joista saa sinit ja kosinit yleisimmille kulmille. Niillä ja yksikköympyrällä pääsee yllättävän pitkälle.
  

  (Kulmien määrittäminen jätetty tehtäväksi lukijalle.)

• Fysiikassa ja kemiassa tärkeimmät vakiot ($g \approx 9.81~\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$, Avogadron vakio $\approx 6.022 \cdot 10^{23}$, jne.) pienellä tarkkuudella.

Bonus: jos innostuit

Päässälaskuun on loputtomasti vinkkejä ja ideoita. Seuraavat pari lähdettä ovat mielestäni erinomaisia.

Brittiläisen matematiikkatuutorin Colin Beveridgen blogissa esiintyy aika ajoin Matikkaninja, joka aiheellisesti halveksuu turhaa laskimenkäyttöä. Osa aiheista on vähän kaukaisia, osa todella näppäriä. Kannattaa selata!

Legendaarinen oppitunneilla päässälaskija Opettaja H. jakaa yhden ninjatempuista loistavan pulman muodossa. Toisena haasteena voit yrittää ratkaista tämän pulman ilman laskinta.

Jätä laskin penaaliin! Jos sinulla on lisää vinkkejä, jaa ihmeessä kommenttikentän kautta!

---

Niin, se tarina. Derivaattakurssilla kokeen viimeisessä tehtävässä piti määrittää jotain, mihin liittyi pisteen etäisyys suorasta. Varsin yksinkertaista, kun katsoo taulukkokirjasta kaavan ja pyörittelee sitä hieman.

Jostain syystä en muistanut sitä kaavaa, enkä selannut taulukkokirjaa. Lähdin johtamaan ratkaisua kolmen yhtälön yhtälöryhmän kautta, tietenkin ilman mitään älylaskimia.

Kunniakseni on sanottava, että kaksi ja puoli sivua vaatinut vastaukseni oli erittäin oikeilla jäljillä. Tein merkkivirheen toiseksi viimeisellä rivillä, eikä aika enää riittänyt tarkistamiseen. Sain tehtävästä muistaakseni neljä pistettä ja hymynaaman.

Tarinan opetus: älä tee merkkivirheitä.