Otetaan tähän väliin pikainen temppu, jonka opin Colin Beveridgen kirjasta Cracking Mathematics. Sijoitat rahaa 3 % korolla. Kuinka pitkään menee, että sijoituksen arvo tuplaantuu? Entä jos korko onkin huikeat 8 %?
Kevyellä päässälaskulla sanoisin vastausten olevan 24 ja 9 vuotta. Pikainen vilkaisu Wolfram|Alphan logaritmiyhtälön avulla ja... oikeaan osui.
Innokkaimmat otsikkodeduktion harrastajat saattavat päätellä, että luku 72 liittyy tapaukseen. Vielä ylisuorittavammat saattavat havaita, että $\dfrac{72}{3}=24$ ja $\dfrac{72}{8}=9$. Ja siinähän se temppu olikin!
Tämä kikka esiintyy italialaismatemaatikko Luca Paciolin (1447-1517) kirjassa Summa de arithmetica. Teos muuten on ensimmäinen kansankielinen renessanssimatematiikan oppikirja ja sattuu muun muassa esittelemään kahdenkertaisen kirjanpidon. Tarina ei kerro, miten Pacioli päätyi 72-sääntöön, mutta kokeilu on luultavin selitys.
Tylsä osuus
Meillä puolestaan on käytössämme logaritmit, joten johdetaan tulos aikamme kuluksi. (Älä yhtään sano, että sinulla on parempaa tekemistä.) Olkoon alussa rahaa $A$ yksikköä ja vuosikorko $K$ prosenttia. Joudumme kuitenkin muuttamaan vaikkapa 3 % koron luvuksi, joka näyttää tältä: 1,03. Määritellään tätä muunnosta varten $k = 1 + K/100$.
Yhden vuoden jälkeen rahaa on $kA$ euroa. Koronkoron ansiosta seuraavana vuonna rahaa on jo $k^2A$ euroa, ja tästä voidaan yleistää, että $x$ vuoden kuluttua rahaa on $k^xA$ euroa. Sitten selvitetään, milloin potti on tuplaantunut:
\[ k^xA = 2A. \]Aloitetaan yhtälönratkaisu heittämällä $A$:t mäkeen. Tästä opitaan, että koronkoron kasvu ei katso rahasummaa. Seuraavaksi otetaan luonnollinen logaritmi kummaltakin puolelta.
\[ \ln (k^x) = \ln 2. \]Logaritmin laskusäännöt sanovat, että eksponentin saa tipauttaa kertoimeksi logaritmin ulkopuolelle. Tehdään niin ja pyöritellään yhtälö nätimpään muotoon.
\[ x = \frac{\ln 2}{\ln k}. \]Tähän asti luvut ovat olleet tarkkoja, ja nyt on aika muuttaa ne karkeaksi nyrkkisäännöksi. Kun $z$ on pieni, voidaan arvioida $\ln (1+z) \approx z$. (Koevinkki: Älä tee näin.[1]) Meillä sattuu olemaan pieni $z$, nimittäin $K/100$.
\[ x \approx \frac{\ln 2}{\frac{K}{100}}. \]Siirretään satanen osoittajaan ja haetaan laskimesta arvo logaritmille, ja saadaan
\[ x \approx \frac{69,31}{K}. \]Saammekin hieman eri tuloksen kuin säännössä on. Kokeilemalla (tai katsomalla Wikipediasta) voi huomata, että jaettavan valinta vaikuttaa tuloksen tarkkuuteen eri korkoprosenteilla. Pienillä koroilla 70 on hieman parempi, mutta muutaman prosentin tienoilla 72 ohittaa sen tarkkuudessa. Suurilla koroilla arviointivirhe kasvaa väistämättä, mutta nyrkkisäännöksi kikka toimii erinomaisesti.
Samalla päättelyllä voi luoda muitakin apusääntöjä: sijoitus kasvaa 50 % osapuilleen $40/K$ vuodessa ja 20 % $18/K$ vuodessa.
[1] ...paitsi arvioidessa suuruusluokkaa tai Taylorin polynomien yhteydessä.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti
Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.