Eräs iso luku

Menneen puolentoista viikon aikana olemme leikkineet äärettömyydellä sekä suuressa että pienessä merkityksessä. Ääretön on tavoittamattomissa, jotain mitä ei voi edes yrittää konkreettisesti ajatella. Paljon parempi tapa räjäyttää mielensä on tutkia jotakin pienempää, vaikkapa Grahamin lukua.

Mikä tekee Grahamin luvusta niin erityisen? Ei varsinaisesti mikään sen ominaisuus, mutta sillä oli kunnia tulla tunnetuksi suurimpana koskaan todistuksessa käytettynä lukuna. Tämän popularisoinnin taustalla oli legendaarinen Martin Gardner, joka kirjoitti luvusta pulmakolumnissaan vuonna 1977. Vaikka luvun ennätysasema on sittemmin syrjäytetty, se on pysynyt tunnetuimpana esimerkkinä.

Luvun nimi on peräisin Ronald Grahamilta, joka tutki moniulotteiseen kuutioon liittyvää kysymystä. Luku ei ole edes ratkaisu kysymykseen, vaan yläraja ratkaisulle --- vieläpä hyvin epätarkka sellainen. Jotta voisimme tulkita sitä, meidän on ensin tutustuttava uuteen, erittäin tehokkaaseen merkintätapaan:

Knuthin nuolinotaatio

Potenssiinkorotus $$4^3$$ esitetään nuolinotaatiolla muodossa $$4 \uparrow 3$$. Samalla tavoin kuin $$4 \cdot 3$$ on $$4 + 4 + 4$$, tässä $$4 \uparrow 3$$ on $$4 \cdot 4 \cdot 4$$.

Menetelmän tehokkuus nähdään kuitenkin siirryttäessä vielä pidemmälle. Jos kertolasku on yhteenlaskuja ja potenssi kertolaskuja, mitä potensseista voidaan kasata? Nuolinotaation merkintä $$4 \uparrow\uparrow 3$$ tarkoittaa $$4^{4^4}$$.

Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa $$4 \uparrow (4 \uparrow 4)$$. Edelleen merkintätapaa voidaan laajentaa: $$4 \uparrow\uparrow\uparrow 3$$ on $$4 \uparrow\uparrow (4 \uparrow\uparrow 4)$$. Samalla kaavalla voidaan kirjoittaa vaikka kuinka monen nuolen pötköjä.

Sillä ei kuitenkaan ole mitään käytännön merkitystä. $$4 \uparrow 3$$ on 64, mutta $$4 \uparrow\uparrow 3$$ on jo $$4^{256}$$ eli jonkun verran yli $$10^{154}$$. Vertailun vuoksi, havaittavassa maailmankaikkeudessa voidaan arvioida olevan vajaat $$10^{80}$$ atomia. Toisin sanoen, mikäli jokainen atomi sisältäisi kokonaisen maailmankaikkeuden, saataisiin suunnilleen $$10^{154}$$ "miniatomia". Ei huonommin neljän merkin lausekkeelle!

Takaisin Grahamin lukuun

Nyt voimme käydä tällä työkalulla Grahamin luvun kimppuun. Määritetään luku $$g_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3$$. Seuraava luku $$g_2$$ on samanlainen, mutta siinä on $$g_1$$ nuolta. Tätä menetelmää jatkamalla saadaan Grahamin luku $$g_{64}$$.

Jutussa vain on yksi pieni mutta. $$g_1$$ on aika iso luku. Tarkkaan ottaen niin iso luku, että se ei mitenkään mahdu auki kirjoitettuna tähän universumiin, edes fysiikan lakeja vääntäen. Seuraavat kuusikymmentäkolme vaihetta eivät varsinaisesti helpota asiaa, vaan sinkoutuvat edelleen kohti... jotain. Niitä ei yksinkertaisesti voi käsittää. Tietenkään ne eivät ole yhtään sen lähempänä äärettömyyttä kuin tavanomainen ykkönen --- äärettömyys on täysin tavoittamaton käsite.

Hyvänä uutisena tiedämme kuitenkin jotain Grahamin luvun arvosta. Pinottaessa kolmosia yhä suuremmaksi potenssikasaksi, viimeiset numerot alkavat pysyä samoina. Tämän ominaisuuden ansiosta matemaatikot ovat pystyneet laskemaan satoja numeroita Grahamin luvun loppupäästä. Emme voi sanoa, kuinka monta numeroa siinä on tai millä se alkaa, mutta se päättyy numeroon 7.

Seuraavaksi: kirjavinkki äärettömyydestä ja muista ihmeistä.

---

• Kuten kaikissa parhaissa tarinoissa, tässäkin on hieman liioittelua. Graham käytti todistuksessaan paljon pienempää mutta edelleen järjettömän suurta lukua. Sittemmin oikeaa ylärajaa pystytty hilaamaan vielä alemmaskin.
• Tarkka arvo luvulle $$4^{256}$$ on 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096.