Kuinka paljon on $$A = 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$$?
Helppoa: $$A = (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0$$.
Toisaalta: $$A = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ldots = 1$$.
Ja vielä pahempaa, kun lasketaan $$A + A$$ pienellä twistillä:
\[ \begin{align*} 1 - &1 + 1 - 1 + \ldots\\ + \, &1 - 1 + 1 - \ldots \end{align*} \]
$$2A = 1$$ eli $$A = \frac{1}{2}$$! Jotenkin ihmeellisesti kokonaisista ykkösistä saatiin puolikas!
Mikä sitten on oikea vastaus? Ei mikään. Kyseessä on hajaantuva sarja, jollaiselle ei voida määrittää summaa. Suurin osa vuosisatojen varrella kehitetyistä summausmenetelmistä päätyy lopputulokseen $$\frac{1}{2}$$, mutta sekään ei tarkoita että vastausta olisi olemassa. Jos jokin pitäisi valita, puolikas olisi luultavasti paras vaihtoehto.
Tämän sarjan esitti matematiikan professoriksi edennyt italialaismunkki Guido Grandi vuonna 1703. Omassa käsittelyssään hän päätyi siihen, että tulos oli paitsi puolikas, ristiriita myös todisti maailman luomisen tyhjästä. Siitä kohtaa todistusta kyllä puuttui välivaihe tai kaksi.
Ensi kerralla: tasapainoilemme äärettömyyden rajoilla.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti
Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.