Aloitetaan pienellä hypyllä lukuteorian ihmeelliseen maailmaan. Kokeile ottaa kaksi kuutoseen päättyvää (kokonais)lukua, ihan niin isoja tai pieniä kuin haluat, ja kerro ne keskenään. Mihin numeroon tulos päättyy? (Jos otit niin isot luvut, että laskimesi sanoo OVERFLOW, kokeile vähän pienemmillä luvuilla.)
Mitkä luvut ikinä valitsitkaan, myös tulos päättyy kuutoseen. Tämän tempun selittäminen vaatii pienen muutoksen ajattelutavassa.
Kellotaulussa on numerot nollasta yhteentoista, vaikkakin nolla merkitään käytännön syistä kahtenatoista. Kuten tiedämme, viisarit käyvät nämä luvut läpi uudestaan ja uudestaan --- kellotaulussa yhdeksän plus kuusi on kolme.
Nyt kuvitellaankin sellainen kellotaulu, jossa on vain kymmenen numeroa nollasta yhdeksään. Tässä kellotaulussa yhdeksän plus kuusi on viisi. Kellotaulu siis jättää jokaisesta laskusta jäljelle viimeisen numeron. Yhteenlaskun lisäksi myös kertolasku toimii samalla kummallisella tavalla.
Tällä kellotaululla siis esimerkiksi $$196 \cdot 86$$ on sama kuin $$6 \cdot 6 = 36$$, ja jäljelle jää viimeinen numero eli 6. Sama pätee kaikille kuutoseen päättyville luvuille, aina ja ikuisesti. Tätä ajattelutapaa kutsutaan kellotauluaritmetiikaksi. Matemaattisin termein kyse on kongruenssista modulo kymmenen.
Viime kevään pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa tätä testattiin seuraavalla kysymyksellä:
10. a) Mihin numeroon päättyy luku $$2016^{2016}$$?
Okei jos nyt tulis parempi kommentti kuin edellinen. (Eli ymmärsin vain blogin idean väärin). Todella "kaunista" jos matikkaa niin voi kutsua. Jos tämä nyt on oikeasti ensimmäinen kommentti niin vähän risuja ja ruusuja on varmaan paikallaan. Risuina en keksi muuta kuin kauheat muistot kyseisestä ylioppilas tehtävästä, a-kohdan sain oikein mutta muita en. Toiseksi mobiili laitteilla ainakin luvut menevät joissain tapauksissa kirjainten päälle mutta siihen pitänee vain tottua. Ruusuja tulee tottakai perusteellisesta selittämisestä. Pidän erittäin paljon tyylistäsi joka saa matikan vaikeahkot asiat jotenkin ymmärrettäviksi jopa minulle.
VastaaPoistaKieltämättä kyseinen tehtävä jakoi kirjoittajia keväällä. Itse en vastannu ja se oli hyvä ratkaisu. Mitä tulee mobiililaitteisiin, niin ainakin tabletilla toimii hyvin. Pelastaa tylsät hetket varmasti vielä pitkäksi aikaa eteenpäin.
PoistaMinäkin muistan vetäneeni yli ekan vastauspaperini tuohon tehtävään, tuli tyrittyä useaan otteeseen ja rajusti 😉
VastaaPoistaKiitos palautteesta, yritän ottaa ruusut kuin risutkin huomioon!