Sisukkaasti etenevä sarja

Päivän kysymys: kummalla näistä loputtomista lukujonoista on suurempi summa?

\[ \begin{align*} A &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots\\ B &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ldots \end{align*} \]

Kuten kysymyksen asettelusta saattaa arvata, vastaus ei ole B. Oikeastaan "suurempi" ei ole oikea sana, koska kummankin summa on ääretön. Kysymys onkin, miksi A, jonka termit pienenevät nopeasti kohti nollaa, on suuruudeltaan ääretön.

Avauskysymys toimii nerokkaana ratkaisuna tähän ongelmaan. B on ilmiselvästi ääretön, kuten sopiikin odottaa loputtomalta sarjalta samaa lukua. Tehtäväksi jää todistaa, että A on vähintään yhtä suuri. Muokataan sarjaa B hieman purkamalla puolikkaita vielä pienempiin osiin:

\[ \begin{align*} A &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \ldots\\ B &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \ldots \end{align*} \]

Yllättäen jokainen A:n termi onkin yhtä suuri tai suurempi kuin vastaava muokatun B:n termi! A on viralliselta nimeltään harmoninen sarja, ja sen loistava käyttökohde on matematiikan opiskelijoiden hämmentäminen. (On sillä muutakin merkitystä, mutta ne nyt ovat sivuseikkoja.)

Sarjan summan äärettömyyttä on vaikea uskoa. Ensimmäisten sadan termin summa on vajaa 5,2 ja ensimmäisten tuhannen vain alle 7,5. Kymmenen menee rikki 12367 termin jälkeen, sata vaatii jo yli $$10^{43}$$ termiä. Vaikka vauhti hidastuu koko ajan, luvut puskevat summaa päättäväisesti kohti ääretöntä.

Tästä äärettömyyden rajalla tasapainoilusta seuraa mielenkiintoinen ominaisuus. Poistamalla kaikki termit, joissa esiintyy tietty lukujono, summasta tulee äärellinen. Valitsi sitten kaikki termit joissa on 1 tai 12345, niin vain käy. Tämä on seurausta siitä, että mitä suuremmiksi luvut käyvät, sitä todennäköisemmin ne sisältävät mainitun lukujonon. Todella moni satanumeroinen luku sisältää ykkösen ja siksi katoaa summasta. Jäljellejäävien termien summa on... hieman päälle 16.

---

• Todistus summan äärettömyydestä on alkujaan lähtöisin 1300-luvun ranskalaiselta Nicole Oresmelta. Se on yksi keskiajan suurimmista matemaattisista saavutuksista, joka tosin katosi vuosisatojen ajaksi, antaen 1600-luvun matemaatikoille tilaisuuden keksiä se ihan itse.
• Mikäli harmonia on tutumpi musiikillisena terminä, ei hätää. Harmonisen sarjan termit ovat nimittäin samoja kuin yläsävelten aallonpituuksien suhteet perussäveleen. Jälleen yksi tapa, jolla matematiikan yksinkertaisuus ilmenee taiteessa.
• Lista tietyn kymmenkerran rikkomiseen vaadittavien termien määrästä on lukujonoja luetteloivan OEIS:n sarja A082912. Tietueen kommenteissa huomautetaan ystävällisesti, että satasen rajan vuonna 1968 laskenut John W. Wrench Jr ei tehnyt urakkaa laskemalla termejä yhteen.