Tällä väitteellä saa sopivanlaisessa porukassa aikaan keskustelua:
\[ 0.999\ldots = 1 \]
Kuinka niin siinä voi olla yhtäsuuruusmerkki? Ensimmäinen alkaa nollalla ja toinen ykkösellä! Kyllähän ne voivat olla äärettömän lähellä toisiaan, mutta eivät kai ne sama luku voi olla?
Kyllä vaan voivat.
Olkoon $$a = 0.999\ldots$$, ja lasketaan
\[ \begin{align*} 10a - a &= 9.999\ldots - 0.999\ldots\\ 9a &= 9\\ a &= 1 \end{align*} \]
Kohtalaisen selvä tulos minun mielestäni, eikä alkuunkaan ainoa tapa päästä samaan tulokseen. Kyse on eräänlaisesta Zenonin paradoksin muunnelmasta. Zenon Elealainen oli 400-luvulla eaa. elänyt kreikkalaisfilosofi, joka paradokseillaan muun muassa todisti liikkeen olevan illuusio.
Kuvitellaan että nouset ylös ja kävelet huoneen poikki. (Jos luet tätä puhelimella, voit kokeilla oikeastikin, mutta muista katsoa eteesi!) Jotta pääsisit huoneen toiselle puolelle, sinun täytyy ensin päästä puoleenväliin huonetta. Sitten sinun pitää päästä jäljelläolevasta matkasta puolet. Ja niin edelleen, ikuisesti aina lähestyen seinää mutta koskaan pääsemättä perille.
Vaikka väitteen todistaminen vääräksi ei vaadi suuria atleettisia lahjoja, paradoksin vääräksi osoittamiseen meni pari vuosituhatta. Matemaattisemmin ilmaistuna kyse on tästä:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots = ? \]
Vasta raja-arvokäsitteen vakiinnuttua 1800-luvulla pystyttiin aukottomasti todistamaan, että kysymysmerkin paikalle kuuluu ykkönen ja liike on mahdollista. Luvun $$0.999\ldots$$ tapauksessa lauseke on muotoa, jonka kätevä opiskelija tunnistaa geometriseksi sarjaksi:
\[ \frac{9}{10^1} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \frac{9}{10^4} + \ldots = 1\]
Seuraavalla kerralla: laskemme yhteen äärettömän monta lukua ja päädymme outoon tulokseen.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti
Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.