Kreikkalaisten päänvaivoja

(Säännöllistä seitsemänkulmiota ei voi piirtää käyttäen vain harppia ja viivainta.)

Viime kerralla tutustuimme Eukleideen jäsentämään geometriaan. Vaikka kreikkalaiset ottivatkin ensimmäisinä käyttöön loogisen menetelmän, hekään eivät osanneet ratkaista kaikkia ongelmia. Niiden kanssa painiessaan he loivat paljon uutta, mutta he eivät osanneet päästää irti kaikista rajoituksistaan.

Ensimmäinen isku kreikkalaisille tuli kuitenkin jo aikaisemmin.

Pythagoralainen kultti

Pythagoras Samoslainen (500-luku eaa.) oli yksi Kreikan varhaisimmista tosimatemaatikoista. Hänen tärkein saavutuksensa ei ole Pythagoraan lause — hän ilmeisesti esitti yhden todistuksen sille, mutta lause oli tunnettu jo ainakin tuhat vuotta aikaisemmin. Hänen maineensa legendana on pikemminkin peräisin hänen johtamastaan kultista. Jälleen kerran elämäkerralliset tiedot ovat epäluotettavia — myöhemmät kirjoittajat ovat liittäneet Pythagoraaseen jopa yliluonnollisia piirteitä.

Pythagoralainen salaseura piti majaansa Italian kaakkoisosassa, ja siihen kuului ilmeisesti sekä miehiä että naisia. Jäsenet olivat tiukasti kasvissyöjiä (tämä ilmeisesti jälleensyntymisuskon vuoksi), minkä lisäksi Pythagoras ilmeisesti vältti papuja kuin ruttoa. He palvoivat lukuja: yksi oli järjen luku, kaksi mielipiteen ja naisen luku, kolme harmonian ja miehen luku, neljä oikeuden luku ($2 \cdot 2$), viisi avioliiton luku ($2+3$) ja niin edelleen aina maailmankaikkeutta kuvaavaan kymmeneen asti. Pythagoralaisten maailmassa oli vain kokonaislukuja ja niiden suhteita eli rationaalilukuja.

Ja sitten eräs ilonpilaaja todisti, että $$\sqrt{2}$$ ei ole kumpaakaan, vaan irrationaaliluku. Legendan mukaan pythagoralaiset palkitsivat tästä ansioituneen jäsenensä hukuttamalla. Kauaskantoisempana vaikutuksena kreikkalainen matematiikka siirtyi luvuista geometriaan, koska janat ovat janoja, oli pituus rationaalinen tai ei. Tähän perustui myös Eukleideen käyttämä geometrinen algebra — Alkeissa numeroita ei käytetä edes lukuteoriassa.

Kolme klassista ongelmaa

Tästä päästään kolmeen geometriseen ongelmaan, jotka syntyivät noin 400-luvulla eaa. ja hämmästyttivät paitsi kreikkalaisia myös tulevia matemaatikoita lähes kahden vuosituhannen ajan. Kaikissa ongelmissa ratkaisu kuuluu esittää vain harpin ja viivaimen avulla — kreikkalaiseen ajatteluun ei kelpaisi esimerkiksi origamiratkaisu, jollainen on kulman kolmijakoon. Ongelmat olivat seuraavat:

• Kulman kolmijako. Tietyt kulmat ovat helppoja jakaa kolmeen yhtä suureen osaan, mutta tehtävänä on löytää kaikille kulmille pätevä menetelmä.
• Kuution kahdentaminen. Tarinan mukaan oraakkeli käski ruttoepidemiasta kärsiviä ateenalaisia kaksinkertaistamaan Apollon alttarin. Rutto ei hellittänyt, vaikka ateenalaiset kaksinkertaistivat sivujen pituudet — alttarin tilavuus nimittäin kahdeksankertaistui. Tehtävä on selvittää, kuinka suuri sivun pituuden olisi pitänyt olla suhteessa alkuperäiseen.
• Ympyrän neliöiminen. On piirrettävä sellainen neliö, jolla on yhtä suuri pinta-ala kuin annetulla ympyrällä.

Näiden lisäksi kreikkalaiset törmäsivät muihinkin vaikeuksiin; esimerkiksi säännöllisen seitsemänkulmion piirtäminen osoittautui liian vaikeaksi tehtäväksi. He eivät osanneet arvata, että kaikki neljä ongelmaa olivat mahdottomia. Seitsenkulmion piirtäminen ei onnistu, koska 7 ei ole parillinen eikä Fermat'n alkuluku — tämä todistettiin 1800-luvulla. Kolme klassista ongelmaa saivat odottaa yhtä pitkään, mutta ne puolestaan... selviävät ensi kerralla.