(Kuva: Jo Naylor (Flickr). CC-BY 2.0.)
Matematiikan ja arkielämän kielet eivät aina kohtaa: Vaikkapa kysymykseen "Otatko teetä tai kahvia?" pätevä vastaus on "Kyllä." Niin ikään loogikko voi luvata pysyvänsä kirkkaana päivänä sisätiloissa sanomalla "Jos huomenna sataa, en mene rannalle."
Tain kahdet kasvot
Ensimmäisessä tapauksessa on kyse tai-sanan erikoismerkityksestä. Looginen lause "A tai B" tarkoittaa arkikielellä "A, B tai A ja B". Toisin sanoen jompikumpi tai molemmat ehdot voivat täyttyä. Matemaatikko ottaa kahvia, teetä tai molempia.
Arkikielen tai-sanaa vastaa poissulkeva tai, eli joko...tai -rakenne. "Otatko joko teetä tai kahvia?" merkitsee, ettei "kumpaakin" ole sallittu vastaus. Arjessa tämä on yleensä ilmiselvää, joten kieltä lyhennetään loogikkojen kauhuksi.
Jos(s)
Huomaatko merkityseron, jos toinen esimerkki muutetaan muotoon "Vain jos huomenna sataa, en mene rannalle"? Rannallemeno tuntuu varmemmalta tässä muodossa, vain sade voi estää sen. Arkikielen "jos" onkin siis oikeastaan looginen "jos ja vain jos".
Alkuperäinen lause "Jos huomenna sataa, en mene rannalle" tarkoittaa loogisesti sitä, että sade estää rannallemenon, eikä sitten mitään muuta. Missään ei sanota, että poutasää takaa biitsipäivän! Jos ja vain jos -muodossa $$\text{sade} = \text{ei rannalle}$$, ja $$\text{ei sade} = \text{rannalle}$$.
Jos-sanaa kutsutaan implikaatioksi ja sitä kuvataan nuolella: $$\implies$$. Tätä nuolta voi kulkea vain yhteen suuntaan. Jos ja vain jos -lauseessa kyse on ekvivalenssista $$\iff$$, ja nyt kummastakin asiasta voi edetä toiseen. Tämä tapaus voidaan kirjoittaa myös muodossa "joss", joss nyt todella haluaa.
Vaikka väite olisi loogisesti tosi, asioilla ei tarvitse olla mitään todellista yhteyttä. Esimerkiksi lause "Jos taskussani on kumiankka, huomenna sataa" on tosi aina paitsi silloin, kun kumiankasta huolimatta huomenna on poutaa! Siitä huolimatta lienee selvää, etteivät tapani vaikuta ihan niin suorasti säähän.
- Matemaatikot tekevät yhden poikkeuksen jos-sanan kanssa: määritelmissä se tarkoittaa automaattisesti "jos ja vain jos". "Jos luku on jaollinen kahdella, se on parillinen" tarkoittaa suoraan, että muunlaisia parillisia lukuja ei ole.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti
Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.