Mahdottomat ratkaisut

(Näillä ympyrällä ja neliöllä on vain likimäärin sama pinta-ala.)

Viime kerralla esitellyt kolme klassista ongelmaa työllistivät matemaatikkoja parin vuosituhannen ajan. Niiden ratkaiseminen itsessään ei ollut mahdotonta: jo antiikin kreikkalaiset tiesivät menetelmiä, joilla ne pystyttiin ratkaisemaan tehokkaasti. Näihin ratkaisuihin kuitenkin liittyi liikkuvia janoja, spiraaleja ja muita tekniikoita, joita ei voinut toteuttaa pelkästään harpilla ja viivaimella.

Tehtävä oli selvä: joko nämä ratkaisutavat oli johdettava lähtöoletuksista, tai ongelmat todistettava mahdottomiksi vain niitä käyttäen. Jälkimmäinen tapahtui. Matematiikka on siitä hieno laji, että asioiden todistaminen mahdottomaksi on mahdollista. (Mainittakoon, että tästä huolimatta matematiikan laitokset ympäri maailman saavat ilmeisen paljon postia henkilöiltä, jotka ovat "ratkaisseet" jonkun klassisista ongelmista.)

Harppi ja viivain yhtälössä

Eukleideen esittelemä geometrinen algebra tarjosi työkalut yhtälöiden ratkaisemiseen. Samaan pystyy meidän merkintätapamme, ja René Descartesin 1600-luvulla esittelemä analyyttinen geometria yhdistää siihen geometrian. Tästä seuraa, että harppi ja viivain ovat siirrettävissä tuttuun koordinaatistoomme.

Janojen yhdistäminen ja erottaminen vastaavat yhteen- ja vähennyslaskua. Niin ikään kerto- ja jakolasku ovat mahdollisia. Lisäksi neliöjuuri on mahdollista ottaa, mutta ei suurempia juuria.

Lukuja, jotka voidaan tuottaa näillä operaatioilla, kutsutaan konstruoitaviksi. Esimerkiksi $$\sqrt{2}$$ on konstruoitava, koska se on luonnollisen luvun neliöjuuri. Piirtämällä se saadaan yksikköneliön lävistäjästä, mikä on mahdollista selvittää harpilla ja viivaimella.

Kuution kahdentamisessa sivun pituus on $$\sqrt[3]{2}$$ kertaa pidempi... ja se ei täytä edellisiä ehtoja! Tämä tarkoittaa, että sitä ei voi myöskään piirtää harpilla ja viivaimella. Sama syy koituu kulman kolmijaon kohtaloksi: vaikkapa $$60^\circ$$ kulman jakaminen kolmeen osaan vaatisi kolmannen asteen yhtälön ratkaisun, mikä ei ole mahdollista.

Ylimaalliset luvut

Konstruoitavien lukujen määritelmää voidaan laajentaa. Lukua kutsutaan algebralliseksi, mikäli se on jonkin polynomin nollakohta. Ehtona on, että polynomin kertoimet ovat kokonais- tai rationaalilukuja, ja että polynomi ei ole loputon. Vaikkapa mainittu $$\sqrt[3]{2}$$ on algebrallinen luku, koska se on ratkaisu yhtälöön $$x^3 = 2$$. Aihetta muuten käsitteli syksyn ylioppilaskokeen tehtävä 13, jossa piti muun muassa näyttää luvun $$\sqrt{2} + \sqrt{3}$$ algebrallisuus.

Hilbertin hotellin vastaanottovirkailija osaisi laittaa algebralliset luvut järjestykseen. Kuitenkin reaalilukujen äärettömyys on suurempi, joten väliin täytyy jäädä jotain. Näitä väliinputoajia kutsutaan transsendenttiluvuiksi. Nimitys ("yliaistillinen, ylimaallinen") on erittäin osuva, koska vaikka lähes kaikki luvut ovat transsendenttejä, tunnemme niistä vain kourallisen.

Esimerkiksi $$2^\sqrt{2}$$, useimmat sinifunktion arvot ja Champernownen vakio $$0.1234567891011\dots$$ ovat transsendenttejä. Tärkeimmät tunnetut transsendenttiluvut ovat kuitenkin luonnollisen logaritmin kantaluku $$e$$ ja $$\pi$$. Piin transsendenttisuus johtaa välittömästi siihen, ettei ympyrää voi neliöidä: $$1$$-säteisen ympyrän alan saa neliö, jonka sivu on $$\sqrt{\pi}$$. Transsendenttilukuja ei voi piirtää harpilla ja viivaimella, eivätkä ne ole edellämainittujen polynomien ratkaisuja.

Kummallista on, miten vähän tiedämme transsendenttiluvuista. Luvut $$e^\pi$$ ja $$\pi + e^\pi$$ ovat transsendenttejä, mutta emme tiedä ovatko $$\pi^e$$, $$\pi + e$$ tai $$\pi e$$. Transsendenttilukuja on äärettömästi, mutta niitä on hyvin vaikea löytää!

---

Kirjallisuutta

Nämä viitteet pätevät kaikkiin kolmeen osaan.

• Boyer, Carl; Merzbach, Uta; Pietiläinen, Kimmo (suom.): Tieteiden kuningatar. Matematiikan historia, osa 1. Art House, 1994.
• Lee, John: Axiomatic Geometry. Americal Mathematical Society, 2013.
• Parker, Matt: Things to Make and Do in the Fourth Dimension. Particular Books, 2014.