Matematiikka on parhaimmillaan erittäin tiivis tiede. Väitteen voi todistaa vääräksi esittämällä lyhyen vastaesimerkin ja useimmat perussäännöt voidaan todistaa muutamalla lauseella. Tämä heijastuu myös matemaattisiin artikkeleihin.
Yksi tunnettu esimerkki lyhyestä todistuksesta julkaistiin vuonna 1966. Kiitos avointen julkaisuarkistojen, se on vapaasti luettavissa. Kyseessä on juurikin vastaesimerkki, ja vapaahko käännökseni menee näin:
Vastaesimerkki Eulerin konjektuuriin [valistuneeseen arvaukseen] samojen potenssien summasta
Suora haku CDC 6600 -tietokoneella tuotti lausekkeen \[ 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 \] pienimpänä tapauksena, jossa neljä viidettä potenssia tuottavat viidennen potenssin. Tämä on vastaesimerkki Eulerin konjenktuuriin, jonka mukaan täytyy laskea yhteen ainakin $$n$$ $$n$$:tä potenssia $$n$$:n potenssin saavuttamiseksi, kun $$n>2$$.
Puoli sivua, ja siitäkin puolet otsikkoon ja yhden lähteen luetteloon! Yksi esimerkki riittää todistamaan, ettei ehto olekaan voimassa — neljän luvun yhteenlaskeminen riitti, vaikka 1700-luvulla Leonhard Euler veikkasi tarvittavan viisi.[1]
Ehkä lyhyimpänä todistuksena voitaisiin pitää John Conwayn ja Alexander Soiferin vuonna 2005 julkaistua artikkelia. Se käsittelee tasasivuisen kolmion peittämistä pienemmillä kolmioilla. Jos ison kolmion sivun pituus on $$n$$, pieniä kolmioita tarvitaan $$n^2$$ (tarkista vaikka itse!) kappaletta. Artikkeli tarkastelee tilannetta, jossa ison kolmion sivu ei olekaan tasaluku.
Voiko $$n^2 + 1$$ tasakylkistä yksikkökolmiota peittää tasakylkisen kolmion, jonka sivu $$>n$$, vaikkapa $$n+\epsilon$$?
$$n^2+2$$ voi: [kaksi kuvaa]
Koko tarina on luettavissa niin ikään vapaasti. Kirjoittajien tavoitteena oli tehdä ennätys artikkelin lyhyydessä, mutta julkaisija ei lämmennyt ajatukselle. Lyhyen väännön jälkeen teksti julkaistiin täytemateriaalina... lehden pidentämänä versiona.
[1] Vitsin mukaan matemaattiset löydöt nimetään toisen löytäjän mukaan, koska muuten lähes kaikki olisi nimetty Eulerin mukaan. Lista hänen mukaansa nimetyistä asioista on kieltämättä pitkä, mutta sitä voinee odottaa historian ehkä tuotteliammalta matemaatikolta.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti
Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.