Lisää liikkeen mahdottomuudesta

(Kuva: Niccie King (Flickr). CC-BY 2.0.)

Mainitsin syyskuussa lyhyesti 450 eaa. tienoilla filosofoineen Zenon Elealaisen todistuksesta, jonka mukaan liike on mahdotonta. Palataan tutkimaan asiaa vähän tarkemmin, koska Zenon ei esittänyt ainoastaan yhtä todistusta väitteelleen. Antiikin kreikkalaisilla ei ollut muodollista määritelmää jatkuvuudelle ja raja-arvoille, vaikka niiden intuitiivisesta ymmärryksestä on paljon viitteitä myös matemaattisissa teksteissä — he muun muassa määrittivät joidenkin pyörähdyskappaleiden tilavuuksia lähes integrointia muistuttavalla menetelmällä.

Mainitsemassani Dikotomia-paradoksissa oletetaan, että aika ja paikka voidaan jakaa äärettömän pieniin osiin. Kun henkilö lähtee liikkeelle siirtyäkseen paikasta A paikkaan B, hänen täytyy ensin kulkea puolet matkasta. Tästä puolikkaasta hänen täytyy kulkea ensin puolet. Ja taas puolet, ja niin edelleen. Henkilön olisi siis kuljettava äärettömän monen pisteen kautta, mutta äärellisessä ajassa tämä on mahdotonta.

Akhilleus-paradoksi on samankaltainen: klassisen juoksukilpailutarinan tapaan Akhilleus yrittää ottaa kiinni etumatkaa saaneen kilpikonnan. Kun Akhilleus pääsee kilpikonnan alkuperäiseen paikkaan, konna on edennyt hieman eteenpäin. Akhilleus juoksee konnan uuteen paikkaan, mutta konna on taas puskenut vähän edemmäs. Tätä toistuu loputtomasti, eikä Akhilleus saa konnaa koskaan kiinni.

Näistä kahdesta seurasi Zenonin mielestä, että aika ei voi olla loputtomasti jaettavissa pienempiin osiin.

Entäpä jos oletus onkin väärä?

Tehdäänkin seuraava oletus: aikaa ja paikkaa ei voi jakaa loputtomiin, vaan on olemassa pienimmät mahdolliset aika- ja paikkayksiköt. Stadion-paradoksissa kuvitellaan kolme kappaletta, joista jokainen koostuu neljästä, pienimmän mahdollisen kokoisesta osasta:

Ylempi kappale liikkuu oikealle ja alempi vasemmalle, kumpikin samalla nopeudella. Yhden hetken — pienimmän mahdollisen ajan — kuluttua tilanne on seuraava:

Alempi kappale on liikkunut kaksi pykälää suhteessa ylempään kappaleeseen! Täytyy olla jokin hetki, jolla pisteet 3 ja A ovat vastakkain; se kuitenkin on ristiriita, koska liikkeen oletettiin tapahtuvan pienimmässä, jakamattomassa ajassa. Siis aika ei ole jakamatonta, kaikki tapaukset päättyvät ristiriitaan ja liike on pelkkä illuusio.

Nykyinen raja-arvokäsite tekee loputtomiin jaettavan ajan luonnolliseksi. Ilmeisesti myös fyysikot ovat tällä linjalla, ja käytännössä mittaustarkkuuden rajat tulevat vastaan todella paljon ennen teoreettisiakaan aikayksiköitä. Tarpeeksi pieneen mittakaavaan mentäessä fysiikka muuttuu muutenkin hyvin kummalliseksi ja tuntemattomaksi.