Kultainen leikkaus

(Capture99/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Tänään puhutaan kultaisesta leikkauksesta, siitä mitä se on ja siitä, mitä se ei ole.

Virallinen määritelmä

Kultainen leikkaus määritellään kahden pituuden $a$ ja $b$ avulla niin, että niiden suhde on yhtä suuri kuin pidemmän suhde niiden summaan:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}. \]

Tätä suhdetta merkitään kreikan kielen kirjaimella $\phi$ (fii), ja sen arvo on

\[ \phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618\dots. \]

Tämä määritelmä oli tunnettu jo antiikin Kreikassa ja Eukleides mainitsee sen Alkeissa.

Yhteys Fibonacciin

Fibonaccin lukujonon $1,1,2,3,5,8,\dots$ seuraava termi saadaan laskemalla kaksi edellistä yhteen. Puolestaan kahden peräkkäisen termin suhde arvioi kultaista leikkausta. Tarkkuus paranee edettäessä pidemmälle lukujonoon. Esimerkiksi $\frac{8}{5} = 1.6$ ja $\frac{28657}{17711} \approx 1.618$.

Neliöistä, joiden sivun pituudet ovat Fibonaccin lukuja, saa kasattua komean spiraalin.

Irrationaalisuus

$\phi$ on lukuna irrationaalinen, eli sitä ei voi kuvata kahden kokonaisluvun suhteena. Siksi edellisellä yhteydellä saa vain likiarvoja, jotka tosin lähestyvät tarkkaa arvoa. Luku on algebrallinen, sillä se on lausekkeen $x^2 - x - 1$ positiivinen nollakohta.

Kultaisen leikkauksen esitys ketjumurtolukuna on helposti muistettava: $[1;1,1,1,\dots]$ eli

\[ 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\dots}}}} \]

Helppo käänteisluku

Lausekkeen $x^2 - x - 1$ negatiivinen nollakohta $-0.618\dots$ on puolestaan $\phi$:n käänteisluvun vastaluku. Luku $\dfrac{1}{\phi} = 0.618\dots$ on edelleen sama kuin $\phi - 1$! Tämän lisäksi $\phi^2 = \phi + 1 = 2.618\dots$.

Esiintyminen geometriassa

Viisikulmion lävistäjä kahden vastakkaisen kärjen välillä on $\phi$ kertaa sen sivun pituus. Samasta syystä myös itseään leikkaavan viisikulmion eli pentagrammin pituudet asettuvat kultaisen leikkauksen suhteisiin.

Miellyttävä ulkonäkö

Kultaisen leikkauksen suhteessa olevat elementit ovat varsin miellyttävän näköisiä, ja siksi niitä näkeekin kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa. Tämä pätee muutenkin Fibonaccin lukujonon suhteisiin eikä vain tarkkaan kultaisen leikkauksen arvoon.

Esiintyminen luonnossa

Fibonaccin lukuja ja niiden suhteita esiintyy luonnossa esimerkiksi kasvien kasvamisessa. Innokkaammat löytävät kultaisen leikkauksen myös ihmiskehon suhteista — ehkä tunnetuin lienee väite, että koko pituuden suhde navan korkeuteen arvioi kultaista leikkausta. Tämä ei ole täysin kaukaa haettua, mutta pätee kylläkin vain mittaustarkkuuden rajoissa eikä aina silloinkaan. Luonnossa kuitenkin esiintyy usein yksinkertaisia sääntöjä, ja Fibonaccin luvut ovat hyvä esimerkki sellaisesta.

Liioiteltu arvo

Sitten on tietenkin niitä, jotka löytävät kultaisen leikkauksen ihan kaikesta mitä mittaavat — Alex Bellos haastattelee tällaista hyvässä (vaikkakin tylsästi suomeksi nimetyssä) kirjassaan Kiehtova matematiikka (Docendo, 2011). Kultaista leikkausta on myös innokkaasti löydetty vaikkapa Egyptin pyramideista, vaikka suhdetta ei niiden aikana välttämättä edes tunnettukaan.^[1] Asioita on helppo ylitulkita jälkikäteen.

Loistavan xkcd-verkkosarjakuvan sivuilta löytyy pienimuotoinen galleria kuvista, joihin on lyöty päälle Fibonaccin spiraali. Samanlaisiahan löytyy, enemmän ja vähemmän vakavasti otettavina. Vielä yhtenä matemaattisena sattumana $\sqrt \phi \approx \dfrac{4}{\pi}$. Ja ei, se on ihan vain sattumaa.

---

^[1] Monessa rakennuksessa on käytetty tietynlaisia kolmioita, mutta mittaustavat tai egyptiläinen lukujärjestelmä eivät sallineet tarkkaa kultaista leikkausta. Fibonaccin lukuihin tai niiden suhteisiin ei myöskään viitata aikalaiskirjoituksissa. Viimeisenä naulana kultaiset leikkaukset löytyvät usein varsin epäolennaisten pisteiden väliltä. (Rossi, Corinna ja Tout, Christopher A. 2002: Were the Fibonacci Series and the Golden Section Known in Ancient Egypt? Historia Mathematica 29:2, ss. 101-113.)