Matematiikan perustukset

"Lause $1+1=2$ on ajoittain hyödyllinen." (Principia Mathematica, 2. nide, sivu 86.)

Matematiikan pätevyys tulee suoraan sen loogisesta rakenteesta. Jokainen matemaattinen lause on tulos todistuksesta, jossa alkuoletuksista päästään loogisten päättelysääntöjen avulla lopputulokseen. Mutta mistä alkuoletukset tulevat?

Lähes aina oletukset ovat aiempien todistuksien tuotteita, mutta matematiikan perustuksina toimivat aksioomat, ennalta tosiksi sovitut asiat. Aksiooman on oltava täysin ilmiselvä, koska sen vääräksi osoittaminen osoittaisi myös kaikki sitä käyttävät todistukset vääriksi. Toisaalta valitut aksioomat eivät saa johtaa ristiriitaan, koska silloin koko järjestelmä on epäpätevä.

Ideaalista olisi käyttää mahdollisimman vähän aksioomia ja osoittaa loput asiat niistä seuraaviksi. Yrityksiä ainakin on ollut — samoihin lopputuloksiin pääsee monenlaisilla valinnoilla. Tällä kerralla tutustumme kahteen merkittävään aksioomajärjestelmään, jotka pyrkivät tuomaan järjestystä geometriaan ja laskemiseen. Ensi kerralla puolestaan näemme, miksi matematiikka ei koskaan tule olemaan täydellistä.

Eukleideen geometria

Vuoden 300 eaa. tienoilla Aleksandriassa vaikuttanut Eukleides on vanha tuttumme. Hänen suurteoksensa Alkeet järjesti kaiken silloisen matematiikan yhdeksi loogiseksi järjestelmäksi. Hän ei keksinyt todistamisen menetelmää (käytössä jo parisataa vuotta aiemmin) eikä esittämiään lauseita tai kaikkia niiden todistuksia, mutta kokoaminen itsessään oli jo valtava suoritus. Aiempia vastaavia töitä ei ole löytynyt, joten oletamme Eukleideen olleen tässä asiassa ensimmäinen maailmassa.

Eukleides valitsi lähtökohdikseen viisi aksioomaa:

1. Kahden pisteen kautta voidaan piirtää suora.
2. Suorasta voidaan erottaa jana.
3. Pisteestä ja janasta voidaan piirtää ympyrä.
4. Kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria, eli kulman suuruus ei riipu sen sijainnista.
5. Yhdensuuntaiset suorat ovat joko päällekkäisiä tai eivät kohtaa toisiaan koskaan.

Näistä lähtökohdista Eukleides ensin todisti laajemman geometrian ja edelleen sen avulla laskennan ja lukuteorian. Kreikkalaiset teoreetikot käsittelivät lukuja geometrian kautta, mikä ei ole niin vaikeaa kuin kuulostaa, vaikkakin vaatii kohtalaisesti työtä. Eukleides ei tehnyt nykymittapuulla täydellistä työtä vaan oikoi muutamassa kohdassa. Ensimmäinen virhe tapahtuu jo ensimmäisessä todistuksessa, joka näyttää tasasivuisen kolmion piirtämisen janasta. Todistus perustuu kahteen ympyrään, mutta aksioomissa ei ole mitään niiden leikkauspisteistä.

Virhe voi kuulostaa pieneltä, mutta se on eräänlainen "niin se vaan on" -tyylinen oletus. Nämä pienet virheet ovat kuitenkin korjattavissa. Paljon isompi aukko onkin viidennessä aksioomassa: 1800-luvulla useampi matemaatikko samaan aikaan osoitti, että geometria toimii ilmankin sitä. Eukleideen esittämä geometria on intuitiivisesti järkevää, koska maailma ympärillämme on kovin suora. Kuitenkin poistamalla viides aksiooma sallitaan erilaiset kaarevat geometriat, jotka mahdollistavat erittäin kiinnostavia sovelluksia. Myös intuitiomme maailmasta on kovin paikalliseksi rajoittunut, koska avaruus kaareutuu painovoiman vaikutuksesta.

Mannertenvälisen lennon reitti kartalla muistuttaa kaarta. Kone kuitenkin lentää suoraan eteenpäin. Maapallo itsessään on esimerkki kaarevasta geometriasta! Viides aksiooma ei päde, vaan kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaavat toisensa aina. Täydellisellä pallolla (jollainen Maa ei ole) suora on pintaa pitkin kulkeva isoympyrä, jonka säde on sama kuin pallolla.

(Antichamber on tietokonepeli, joka sijoittuu epäeuklidiseen maailmaan. Palaamalla takaisin ei aina pääsekään sinne, mistä tuli!)

Eukleideen järjestelmä ei kuitenkaan ole epäkelpo, vaan rajoittunut. Se on kuvaus siitä geometriasta, jossa suorat ovat... no, "suoria". Siitä on useita muunnelmia, joista David Hilbertin versio on yksi tunnetuimmista. Siinä on 20 aksioomaa, jotka määrittävät pisteet, suorat ja tasot toistensa avulla niin, että geometrista intuitiota ei tarvita. Väitteet pysyisivät tosina, vaikka termit vaihdettaisiin maatilan eläimiksi. Kukapa ei haluaisi aloittaa aksioomasta "Kaksi erillistä lehmää $A$ ja $B$ määrittelevät aina täydellisesti yksikäsitteisen kanan $a$." ja päätyä kanakolmioihin?

Lukujen lait

Hilbert oli 1900-luvun alun merkittävimpiä matemaatikoita. Hän kehitti monia matematiikan aloja ja tuki vielä kiistanalaisia ajatuksia, kuten äärettömyyksien määrittelyä (Hilbertin hotelli). Vuosisadan alussa hän esitti kahdenkymmenenkolmen kohdan listan merkittävistä matemaattisista ongelmista, joita ei ollut ratkaistu. Kohta 2 käsitteli laskutoimitusten aksioomia.

Matematiikan sääntöjen formalisointi oli silloin iso juttu, jossa erityisesti Hilbert oli mukana. Mitkä oletukset riittäisivät luomaan tukevan pohjan niin geometrialle kuin laskutoimituksille ja joukko-opille? Useampikin tutkija yritti löytää tällaiset perustukset, ja Russellin ja Whiteheadin yritys on hauska esimerkki siitä.

Sekä Bertrand Russell että Alfred North Whitehead olivat kumpikin filosofiasta kiinnostuneita matemaatikoita. Russellin tapauksessa kuvaus lienee hieman vähättelevä, sillä hänet tunnetaan paremmin filosofiasta, poliittisesta aktivismista ja Nobelin kirjallisuuspalkinnon voittamisesta! Kuitenkin, 1910-luvulla parivaljakko kirjoitti Principia Mathematican, kolmiosaisen ja silti kesken jääneen teoksen matematiikan loogisesta perustasta.

Kirja koostuu erittäin... tiiviillä merkintätavalla kirjoitetuista loogisista lauseista. Formalismissa perusajatuksena on käsitellä väitteitä rajoitetun "kielen" lauseina, joiden muokkaamiseen on joukko sääntöjä. Principia aloittaa pienestä joukosta sääntöjä ja johtaa näistä muun muassa peruslaskutoimitukset. Kaikkein tunnetuin kohta löytyy ensimmäisen niteen sivulta 379 (1. painos), jossa todetaan: "Tästä lauseesta seuraa yhteenlaskun määrittelemisen jälkeen, että $1+1=2$." Yhteenlasku saadaan määriteltyä yli 200 sivua myöhemmin.

Tässäkin työssä oli muutama ongelmansa: Ensinnäkin, se jäi kesken. Toisekseen, merkintätapa ei ollut erityisen hyvä. Kolmanneksi, sekään ei pysty määrittelemään kaikkea matematiikkaa.

Teos yritti olla ratkaisu ongelmiin, joita Russell itsekin oli löytänyt aiemmista yrityksistä. Yritys, kuten koko Hilbertin toive matematiikan täydellistämisestä jäi vajaaksi. Syyllinen siihen oli Kurt Gödel 1930-luvulla, ja siihen me syvennymme seuraavalla kerralla.

Keskiviikkona: Joutuvatko matemaatikot työttömiksi? Onko matematiikka perusteellisesti rikki? Mitä mystinen parturi oikein aikoo tehdä?