Uhkapelurin monta tuhoa

(Zdenko Zivkovic/Flickr. CC-BY 2.0.)

Rahapeliteema jatkuu, joskin tällä kertaa muitakin sovelluksia löytäen. Ei mitenkään pelaamisen järkevyyttä kommentoiden, tänään aiheina ovat uhkapelurin virhepäätelmä ja uhkapelurin tuho.

Pelurin virhepäätelmä

Monte Carlon kasino elokuussa 1913. Ruletissa pallo on pysähtynyt mustalle jo 20 kertaa putkeen. Pelaajat ovat hämillään. Mille kannattaisi asettaa panoksensa? Mille itse asettaisit, jos olisit paikalla?

Toivottavasti et asettanut punaiselle. Pallo pysähtyi mustalle vielä kuudesti. Sitten se viimeinkin kilahti punaiselle, päättäen rankasti hävinneiden pelureiden tuskan. Mitä ihmettä oli tapahtunut? Ei mitään. 26 mustaa on ihan yhtä todennäköinen kuin mikä tahansa muu $2^{26}$ punaisten ja mustien yhdistelmästä.

Loogisesti ajateltuna asiahan on ilmiselvä: ei pallo tiedä, miten se on käyttäytynyt aiemmin. Pallon jakautuminen tasaisesti mustien ja punaisten välille näkyy vasta oikeasti tilastollisessa mittakaavassa, sadoissa tai tuhansissa pyöräytyksissä. (Tämä tunnetaan isojen lukujen lakina.) Ihmisen psykologia vain jostain syystä ohjaa luulemaan, että "virhe" tasoittuu pian — ja sitä kutsutaan pelurin virhepäätelmäksi.

Mutkistetaan asiaa vielä vähän: päätelmä voi nimittäin myös olla perusteltu. Jos tuhansien pyöräytysten analyysi osoittaa, että pallo päätyy punaiselle 52 % tapauksia, pelaaja voi käyttää tilannetta edukseen — ja niin on tapahtunut useita kertoja, ja pelien tarjoajat todellakin valvovat etunsa vuoksi, ettei niin käy. Tämäkään etu ei kuitenkaan ole voittamaton, kuten seuraavaksi näemme.

Pelurin tuho

Pelataan kolikonheittopeliä (voit ottaa kolikon esiin ja kokeilla itse). Laita pari euroa potiksi; jokaisella kruunalla voitat euron ja jokaisella klaavalla menetät euron. Kun oletetaan kolikon olevan täysin tasapuolinen, pelin odotusarvo on $0~€$ — keskimäärin siinä ei voi voittaa eikä hävitä. Sopivan monen kierroksen jälkeen kuitenkin potti on kadonnut etkä voi enää pelata. Hävisit.

Sekään ei ole mikään ihme: siinä missä putkeen voi voittaa viisi euroa, ne voi myös hävitä. Loputtomasti peliä jatkamalla täytyy tulla niin monen klaavan putki, että koko potti sulaa pois. Täytyy siis osata lopettaa ajoissa!

Entäpä jos pelissä onkin itse niskan päällä, vaikkapa kruunan saakin 52 prosentissa heittoja? Silloinkin saattaa hävitä ennen pitkää ihan samalla periaatteella — todennäköisyys siihen $n$ heiton jälkeen on pienempi, muttei olematon.

Tätä voit kokeilla allaolevalla demolla. Alkupanoksena pelissä on 5 euroa, ja peli jatkuu enintään sata kierrosta. Voit muuttaa kruunan todennäköisyyttä välillä 40–60 % ja toistaa kokeen niin monesti, että tylsistyt (olettaen, ettet ole jo).

Selaimesi ei näytä tukevan <canvas>-elementtiä, joka vaaditaan tähän demoon.

Voiton todennäköisyys:

Matemaattisesti tässä tapauksessa puhutaan satunnaiskävelystä. On osoitettavissa, että 50/50-tilanteessa jokainen äärettömästi jatkettu peli käy nollassa — ja pelaajalle se tarkoittaa homman päättymistä. Kuten demo osoittaa, edes parannetut todennäköisyydet eivät aina pelasta. Pelissä voittaa se osapuoli, jolta rahat eivät lopu kesken — täytyy siis osata lopettaa, kun on voitolla.

Satunnaiskävelyllä on yllättävän paljon sovelluksia niin taloustieteissä, fysiikassa kuin kaikessa siltä väliltä. Sitä ei edes tarvitse rajoittaa pelien tapaan yhteen ulottuvuuteen, vaan moniulotteinen satunnaiskävely tuottaa lähes taiteellisia lopputuloksia. Sille keksii myös muita, arkisempia sovelluksia.

Kuvitellaan, että olet jossain päin tuntematonta kaupunkia ja haluaisit löytää rautatieasemalle. Täysin pätevä strategia olisi kävellä seuraavaan risteykseen, valita umpimähkään suunta ja toistaa, kunnes löytää itsensä asemalta. Se oikeasti toimii: satunnaiskävely käy jokaisessa pisteessä, myös asemalla. Huonona puolena, no, tehtävään voi pahimmillaan mennä reippaasti yli elinikä. Ehkä kannattaa kysyä karttaa.

---

Demon lähdekoodi on saatavilla GitHubissa vapaalla MIT-lisenssillä.