Eläkepäiväsi ovat koittaneet ja voit viimeinkin siirtyä täysipäiväiseksi kassajonojen tukkijaksi. Aseinasi ovat tarkka tarjoussilmä, käteisellä täytetty lompakko ja annos matemaattista tiedonhalua. Vuosia tukka putkella kortillamaksamisen jälkeen on hyvä hengähtää ja miettiä uudelleen tapaa, jolla luopuu rahoistaan.
Ensinnäkin vaihtoraha on auttamattomasti passé. Älylliset virikkeet ovat tärkeitä ja niitä ei kassakone tarjoa. Siispä maksu on suoritettava tasarahalla. Entäpäs menetelmä, jolla latelet kolikot tiskiin? Klassinen "aloita isoista ja etene pienempiin" toimii, mutta on vähän tylsä... mitä jos yrittäisitkin maksaa ostokset käyttämällä kunkinsuuruista kolikkoa enintään kerran?
Iltapäivälehti tarttuu mukaan 1,60 € hinnalla, joka on helppo jakaa euroon, viisikymmensenttiseen ja kymmensenttiseen. Suklaalevyn 2,25 € hoituu kaksieuroisella, kahdellakymmenellä ja viidellä sentillä. Pienet ostokset sujuvat kuin tanssi (nivelten rajoissa), kunnes vastaan tulee pahin kaikista: kissanhiekkatarjous. Kaksi pussia yhdeksällä eurolla. Jono takanasi pitenee roimasti, kun yrität valita kolikkosi viitosen seuraksi — mutta et onnistu. Yhdeksää euroa ei voi maksaa käyttämättä samanlaista kolikkoa kahdesti.
Tämä oli pitkä (ja valitettavan stereotypioilla ratsastava) johdanto aiheeseemme, nimittäin käytännöllisiin lukuihin. Käytännöllinen luku on sellainen kokonaisluku, jonka tekijöitä summaamalla voidaan esittää jokainen pienempi luonnollinen luku käyttäen kutakin tekijää enintään kerran. Esimerkiksi $8$ on käytännöllinen luku, jonka tekijät ovat $1$, $2$, $4$ ja $8$. Pienemmät luvut voidaan esittää niiden summana ilman toistoja:
\[ \begin{align*} 1 &= 1,\\ 2 &= 2,\\ 3 &= 1+2,\\ 4 &= 4,\\ 5 &= 1+4,\\ 6 &= 2+4,\\ 7 &= 1+2+4. \end{align*} \]Käytännölliset luvut sopivat siis täydellisesti maksutapaamme. Mikäli raha, olkoon sen yksikkö vaikka matirkka, jaettaisiin kahdeksaksi venniksi, voitaisiin lyödä yhden, kahden ja neljän vennin kolikoita sekä samansuuruisia matirkkoja. Niiden avulla voisi maksaa minkä tahansa kahdeksaa matirkkaa pienemmän summan turvautumatta kolikoiden uusiokäyttöön.
Käytännöllisiä lukuja on paljon (tarkkaan sanoen äärettömän monta). Kaikki kakkosen potenssit ovat käytännöllisiä, joten voisimme niin ikään painaa vaikkapa $256$ matirkan ja kaikkien pienempien potenssien seteleitä. (Ominaisuuden todistaminen jätettäköön lukijalle. Binääriluvut saattavat liittyä asiaan.) Myöskin parilliset täydelliset luvut ja alkulukukertomat ovat käytännöllisiä, mikäli nimet sanovat sinulle jotain. Sen sijaan parittomia käytännöllisiä lukuja ei ole.[1]
Myyjä kassan takana alkaa jo ehdotella 100 % alennusta, joten lienee hyvä aika keskeyttää käteismaksukokeilu. Epäonnistumisen syy ei ole matemaattinen, sillä $100$ itse asiassa on käytännöllinen luku. Syyttävä sormi täytyykin osoittaa rahapajaan. Mokomat laiskurit ovat jättäneet pois kaksi kolikkoa, joiden vaikutuksella mikä tahansa senttilukema saataisiin maksettua käyttämättä samanlaista lanttia kahdesti. Mitkä kaksi kolikkoa pitäisi lisätä?
[1] Okei okei, ykkönen on pariton ja käytännöllinen. Ketä kiinnostaa.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti
Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.