Isojen lukujen laki on vakavamielinen ja tärkeä todennäköisyyksien pääsääntö: todennäköisyydet toimivat vasta isossa mittakaavassa. Tuhannesta kolikonheitosta noin puolet on kruunia, kahdesta heitosta puolestaan on paha mennä sanomaan. Pienten lukujen laki, tai itse asiassa kaksi lakia, on vähemmän vakava mutta niin ikään olennainen:
– Richard Guy
- Pieniä lukuja ei ole riittävästi vastaamaan niihin kohdistettuja odotuksia.
- Vaikka kaksi lukua näyttäisivät samalta, asia ei välttämättä ole niin!
Guy esitteli nämä lukuisilla esimerkeillä kahdessa artikkelissa, joihin linkitän tämän tekstin lopussa. Annan kuitenkin muutaman esimerkin ihan itse.
Ensimmäinen sääntö tarkoittaa paljolti sitä, että useimpien sääntöjen poikkeukset osuvat pieniin lukuihin. Vaikkapa luvut $2^2 - 1$, $2^3 - 1$, $2^5 - 1$, ja $2^7 - 1$ ovat kaikki alkulukuja, mutta mitenkäs onkaan seuraavan alkulukueksponentin $11$ laita? Eipäs olekaan, ja siitä eteenpäin Mersennen alkuluvut ovat harvinaisia.
Toinen klassinen esimerkki on "kiinalainen alkulukutesti", jonka mukaan $p$ on alkuluku, jos jakolaskusta $2^p / p$ jää jakojäännökseksi $2$. Väite on tosi jokaiselle alkuluvulle, mutta se ei päde toisinpäin: on lukuja, joiden jakojäännökseksi tulee kaksi, vaikka ne eivät olekaan alkulukuja. Ikävä kyllä pienin sellainen on $p = 341$, joten useampi matemaatikko ehti kompastua väitteeseen.
Jälkimmäisen lain esittelyyn kelpaavat pari seuraavaa funktiota. Ympärillä olevat hakaset tarkoittavat, että luku pyöristetään alaspäin kokonaisluvuksi. Ensimmäinen lauseke on
\[ \left\lfloor \frac{3^n}{2^n} \right\rfloor. \]Muutamalla ensimmäisellä $n$:llä funktion arvo on $1,1,2,3,5,\dots$ — eivätkös ne ole Fibonaccin lukuja! Löysimmekö nerokkaan yksinkertaisen tavan mielivaltaisen Fibonaccin luvun laskemiseen? Vielä parempaa, samat luvut saadaan toisellakin kaavalla:
\[ \left\lfloor \frac{n^2}{4} \right\rfloor + 1. \]Voit itse kokeilla, kestävätkö yhteydet pidempää tarkastelua. Koska voihan olla, että vain hain loistavasta Online Encyclopedia of Integer Sequences -palvelusta noilla muutamalla luvulla alkavia lukujonoja...
Tarinan opetus niin koululaisille kuin varttuneemmillekin: kokeileminen ei riitä!
- Guy: The Strong Law of Small Numbers (American Mathematical Monthly 10/1988). PDF, ei vaadi kirjautumista.
- Guy: The Second Strong Law of Small Numbers (Mathematics Magazine 1/1990). Vaatii rekisteröitymisen tai pääsyn esim. yliopiston kautta.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti
Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.