Täydellisten lukujen mysteeri

(Luvun 28 täydellisyys visuaalisemmassa muodossa.)

Mikäli sortuisin inhimillistämään lukuja, näkisin täydelliset luvut turhamaisena kaksosparina, joka ei katso omia napojaan pidemmälle. Vertaus on enemmän kuin hieman ontuva, mutta siitä viis täydellisen luvun käsite on huikea: todella yksinkertainen, todella muinainen ja edelleen arvoituksellinen.

Lukua sanotaan täydelliseksi, mikäli se on itseään pienempien tekijöidensä summa. Esimerkiksi $28$ on täydellinen, koska se on jaollinen luvuilla $1$, $2$, $4$, $7$ sekä $14$, ja näiden summa on $1+2+4+7+14=28$. Tämä tiedettiin jo antiikin Kreikassa.

Jos tämä kuulostaa hyvältä ainekselta numerologiahuuhailulle, olet aivan oikeassa: täydellisiin lukuihin on liitetty mystisiä ominaisuuksia kautta historian. Miksi muutenkaan Kuu kiertäisi Maan 28 päivässä ja kristinuskon Jumala käytti luomiseen kuusi päivää? Näillä luvuilla on onneksi myös oikeasti matemaattisesti kiehtoviakin ominaisuuksia.

Niiden määrä

Antiikin kreikkalaiset tunsivat neljä täydellistä lukua: $6$, $28$, $496$ ja $8128$. Seuraavaa saatiin odottaa keskiajalle. 100-luvun matemaatikko Nikomakhos esitti, että niitä on yksi kussakin kymmenkerrassa ja että niiden viimeinen numero vuorottelee kuutosen ja kahdeksan välillä. Kumpikin väite meni ansiokkaasti metsään: seuraava on viisinumeroisen sijaan $33~550~336$ ja sitä seuraava päättyy myös kuutoseen. Hyvä yritys kuitenkin: ainakin $6$ ja $8$ ovat ainoita mahdollisia viimeisiä numeroita.

Vaka vanha Eukleides (ks. Harppi ja viivain) osoitti Alkeiden parissa puuhaillessaan, että luku $2^{p-1} \cdot (2^p - 1)$ on täydellinen luku, kunhan $2^p - 1$ vain on alkuluku. Kaksi vuosituhatta myöhemmin ihmematemaatikko Leonhard Euler (1707–1783) todisti sivumennen, että itse asiassa kaikki parilliset täydelliset luvut ovat tätä muotoa. Tämän ansiosta täydellisten lukujen metsästys muuttui tiettyjen alkulukujen jahtaamiseksi — Eukleideen ja Eulerin välisenä aikana niitä oli alettu kutsua Mersennen alkuluvuiksi.

Nimi tulee ranskalaismunkki Marin Mersenneltä (1588–1648), joka oli vapaa-ajallaan innokas tieteen edistäjä. Alkulukujen parissa hänen suuri työnsä oli lista tunnetuista Mersennen alkuluvuista. Ikävä kyllä hän liittyy Nikomakhuksen seuraan siinä, että listalla oli sekä ylimääräisiä että puuttuvia lukuja. Tehtävän vaikeutta kuvaa hyvin se, että lista saatiin tarkistettua lopullisesti vasta 1900-luvulla. On hyvä kysymys, mistä Mersenne lukunsa veti.

Jotta $2^p - 1$ olisi alkuluku, myös eksponentin $p$ on oltava alkuluku. Se kuitenkaan ei helpota hommaa sanottavasti: esimerkiksi $2^3 - 1 = 7$ on alkuluku, mutta $2^{11} - 1 = 2047$ ei olekaan (se on $23 \cdot 89$). Vielä pahempana ongelmana luvut kasvavat kirjaimellisesti eksponentiaalisesti — Mersennen listan viimeinen luku $2^{257} - 1$ on 77 numeroa pitkä (ja perusteetta listalla, mutta sitä Marin parka ei tiennyt).

Käsivoimien loppuessa tietokoneet tulivat avuksi juuri oikeaan aikaan. Mersennen alkuluvuille on olemassa yksinkertainen ja tietokoneille sopiva testi,^[1] joka vaatii ainoastaan raakaa laskutehoa. Nykyään Mersennen alkulukuja etsii GIMPS-projekti, joka jakaa laskentatehtäviä vapaaehtoisten tietokoneille verkon välityksellä. Sen suurimmassa löydössä on yli 22 miljoonaa numeroa — mutta se on vasta 49. löydetty Mersennen alkuluku!

Mersennen alkuluvut ovat harvinaisia, mutta onko niitä loputtomasti? Ei tiedetä, kysymys on vielä avoin. Samasta syystä täydellisten lukujen määrä on vielä tuntematon. Tähän mennessä olemme kuitenkin puhuneet vain parillisista täydellisistä luvuista.

Parittomat täydelliset luvut

Parittomien täydellisten lukujen metsästykselläkin on pitkät perinteet. Euler ajatteli niitäkin, ja muun muassa kirjoitti lausekkeen, joka osoittaa niiden muodon.^[2] Yrityksistä huolimatta niille on kuitenkin löydetty vain rajoituksia.

Nykyinen tietokoneiden aikakausi antaa enemmän työkaluja matemaatikoiden käyttöön. Moni tuhahtelee raa'alle laskennalle eleganttien todistusten sijaan, mutta nykyiselle lukuteorialle sähköinen avustus on korvaamatonta. Tämänhetkisten tulosten — jotka ovat vuosien varrella kasvaneet ja tulevat varmaankin kasvamaan — mukaan pariton täydellinen luku

• koostuu ainakin kymmenestä eri alkutekijästä, joista ainakin yksi on kooltaan yli kymmenen miljoonaa,
• koostuu ainakin 101 alkutekijästä, kun toistot lasketaan, ja
• on suuruudeltaan ainakin $10^{2000}$.

Viimeinen kohta on sangen lannistava, koska luku on reippaasti enemmän kuin astronominen. Parittomilla täydellisillä luvuilla ei ole mitään käytännön merkitystä ja sellaisen löytyminen olisi jo pieni ihme. Moni uskoo, että ehdot ovat liian kireät sopivan luvun olemassaololle.

Tässä kohtaa matka kuitenkin on tärkeämpi kuin määränpää. Ehtojen tiukentamiseen tarvitaan laskennallisia menetelmiä, joista saatua tietoa voi varmasti soveltaa muuallakin. Jos — tai kun — asiaan saadaan lopullinen todistus, se saattaa hyvinkin yhdistää useita matematiikan aloja ja avata uusia näkymiä. Siihen ei kuitenkaan tietokone pysty, vaan tarvitaan ihmisälyä. Yli kahden vuosituhannenkin jälkeen täydelliset luvut ovat arvoitus.

---

^[1] Kyseessä on Lucasin-Lehmerin alkulukutesti, joka on varta vasten räätälöity Mersennen alkuluvuille. Aloitetaan luvusta $s_0 = 4$ ja lasketaan $s_{i+1} = s_i^2 - 2 \mod (2^p - 1)$. Jos $s_{p-2} = 0$, luku $2^p - 1$ todella on alkuluku. Tämä tekniikka sopii loistavasti tietokoneille.

^[2] Pariton täydellinen luku on muotoa $p^km^2$, jossa $p$ on alkuluku, $m$ ei ole jaollinen $p$:llä ja $p \equiv k \equiv 1 \mod 4$.