Melkein kaikki olennainen alkuluvuista

Alkuluvut ovat lukujen teorian olennaisin rakennuspalikka, joihin viittaan itsekin tämän tästä. Kuitenkaan niiden ominaisuudet eivät ole itsestäänselviä, joten tässä on kevyt referenssi/pikakertaus siihen, miksi alkuluvut ovat Iso Juttu. Joukossa pitäisi olla uusia tiedonmurusia lukion lukuteorian käyneillekin. Ota hyvä asento, niin aloitetaan!

Mistä "luku" tulee?

Lukuteoriasta puhuessa tehdään yleensä hiljainen taustaoletus: luku tarkoittaa luonnollista lukua. Luonnolliset luvut ovat äärettömän iso kourallinen "luonnolliselta" tuntuvia lukuja, ja pitkän matikan lukijat tunnistavat sen myös symbolista $\mathbb{N}$. Kaikki ovat sitä mieltä, että $1, 2, 3$ ja niin edelleen ovat luonnollisia lukuja. Siitä ei olla yhtä mieltä, onko $0$ luonnollinen luku — tässä tekstissä jätän nollan pois, koska se mutkistaisi asioita turhaan.

Siitä ollaan yksimielisiä, että yksikään näistä ei ole luonnollinen luku: $0.3$, $-1$, $\dfrac 3 2$, kökköfantti ja $\sqrt{-1}$.

Mistä "alku" tulee?

Jokainen luku voidaan esittää kertomalla alkulukuja yhteen. Esimerkiksi $60$ on sama kuin $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. Mikä tärkeintä, jokaista lukua vastaa tasan yksi alkulukujen tulo. Tämä on niin tärkeä juttu, että se on nimetty aritmetiikan peruslauseeksi. Luvun jakamista sen muodostaviin alkulukuihin kutsutaan alkutekijöihin jakamiseksi tai alkutekijähajotelmaksi.

Mitkä sitten ovat alkulukuja?

Alkuluvut ovat niitä lukuja, jotka eivät ole jaollisia millään muulla luvulla. Niiden alkutekijähajotelma koostuu vain luvusta itsestään: esimerkiksi $7 = 1 \cdot 7$.

Alkulukujen löytämiseen on yksinkertainen menetelmä, harvinaisen vaikeanimisen antiikin kreikkalaisen mukaan nimetty Eratostheneen seula. Se toimii näin: Listataan lukuja kakkosesta eteenpäin. Ympyröidään kakkonen ja vedetään yli kaikki kakkosen monikerrat. Sitten ympyröidään kolmonen ja vedetään yli kolmosen monikerrat. Jatketaan ensimmäisen jäjellä olevan luvun ympyröimistä ja muiden ylivetämistä, kunnes kaikki luvut on käyty läpi. Ympyröidyt luvut ovat alkulukuja, koska ne eivät ole jaollisia millään niitä pienemmällä luvulla.

(Itse asiassa kaikkia lukuja ei tarvitse käydä läpi. Kuinka monen luvun ylivetämisen jälkeen kaikki jäljellä olevat luvut ovat alkulukuja? Miksi?)

Hetkinen, onko ykkönen alkuluku?

Ei.

Osa matematiikasta toimisi, vaikka ykkönen olisikin alkuluku, mutta aritmetiikan peruslauseella olisi vaikeampaa: koska ykkösellä kertominen ei muuta lukua, jokaiselle luvulle voisi kirjoittaa äärettömän monta alkutekijähajotelmaa, jotka eroavat toisistaan vain ykkösten määrässä. Myös Eratostheneen seula hajoaisi, koska ykkösen ympyröinnin jälkeen yliviivattaisiin... niin, ihan kaikki.

Siksi on sovittu, ettei ykkönen ole alkuluku. Se on aivan omaa luokkaansa ja omaa koko joukon jänniä erikoisominaisuuksia. Se ei muuta toista lukua kertolaskussa ja sitä yhteenlaskemalla saadaan kaikki luonnolliset luvut. Tietyllä tavalla se on kaikkien lukujen alku.

Onko alkulukuja äärettömästi?

On, ja se tarina on puhkikaluttu matematiikan tunneilla. Vaka vanha Eukleides esitti sen näin:

Oletetaan, että alkulukuja on rajallinen määrä. Kerrotaan ne kaikki keskenään ja plussataan siihen ykkönen. Luku olisi muuten jaollinen kahdella, mutta lisätty ykkönen estää sen. Samoin käy kolmoselle, vitoselle ja niin edelleen aina viimeiseen alkulukuun asti. Koska keksimämme luku ei siis ole jaollinen millään niistä, se on alkuluku, mutta samalla suurempi kuin oletettu viimeinen alkuluku. Tämä on ristiriita, joten alkulukuja ei voi olla rajallisesti — niitä on pakko olla äärettömän monta.

Ne kuitenkin harvenevat suurempiin lukuihin mennessä?

Kyllä. Tuhatta pienempiä alkulukuja on 168 kappaletta. Seuraavassa tuhannessa niitä on 135 ja sitä seuraavassa 127. Harveneminen on kuitenkin kohtalaisen hidasta. Niissä suuruusluokissa, joissa tietokoneet tuntevat olonsa vielä mukavaksi, noin yksi tuhannesta luvusta on alkuluku.

Lukua $x$ pienempien alkulukujen määrää merkitään yleensä $\pi(x)$, jossa pii on pee niin kuin prime. Alkulukujen laskemisen lisäksi sen arviointiin on joukko kaavoja. Yksi arvio on hyvin yksinkertainen, vaikkakin vähän epätarkka:

\[ \frac{x}{\ln x} < \pi(x) < \frac{1.26x}{\ln x}. \]

Eli alkulukujen välillä on paljon tylsiä lukuja?

Ei läheskään aina. Alkulukupareja, joiden välissä on vain yksi luku, on paljon alkaen $(3,5)$-parista. Sataa pienemmissä luvuissa on kahdeksan paria, ja viime syksynä löydettiin lähes 400 000 numeroa pitkä pari. Vielä ei kuitenkaan tiedetä, onko kaksikoita äärettömän monta.

Kaksikoiden lisäksi on olemassa kolmikoita kuten $(37, 41, 43)$, nelikoita, viisikoita ja suurempia ryhmiä. Jaollisuussääntöjen vuoksi ne eivät tosin voi koostua peräkkäisistä tai edes kahden välein olevista luvuista.

Onko alkulukujen tekemiseen jotain kaavaa?

Mitään sellaista ei tunneta. Jotkin lausekkeet kuitenkin tuottavat yllättävän alkulukuisia tuloksia. Esimerkiksi $n^2 + n + 41$ tuottaa pelkkiä alkulukuja ännän arvoilla nollasta kolmeenkymmeneenyhdeksään.

Eikö yhtään mitään?

60-luvulla matemaatikko Stanislaw Ulam teki kuten jokainen meistä kuolettavan tylsää esitelmää kuunnellessaan ja piirusteli spiraaleja. Hän asetti luvut spiraalille...

...ja väritti alkuluvut:

Erilaiset alkulukuja tiheästi tuottavat kaavat näkyvät spiraalilla jonkunasteisina kuvioina. Kuitenkaan niitä ei yhdistä mikään tietty sääntö.

Tämä on siis olennainen asia, josta matemaatikot eivät tajua kaikkea edes yli kahden vuosituhannen jälkeen?

Näin juuri. Alkulukuihin liittyy vielä paljon avoimia kysymyksiä. Esimerkiksi Riemannin hypoteesi, joka liittyy alkulukujen määrään, on odottanut todistusta puolitoista vuosisataa. Perustavanlaatuisimmat asiat ovatkin osoittautuneet syviksi ja vaikeiksi.

Onko tällä mitään käytännön merkitystä?

Ensinnäkin: erittäin paheksuva tuhahdus, senkin hyötyajattelija. Toisekseen: Kyllä, paljonkin. Käytännössä kaikki lukuteoria rakentuu alkulukujen pohjalle. Esimerkiksi nykyaikainen salakirjoitus perustuu suurelti siihen, että suuria lukuja on vaikea purkaa alkutekijöikseen. (Ks. Julkisia salaisuuksia)