Viiteen päättyvä neliö

Tämä temppu on klassinen, yksinkertainen ja aika näppärä. Aika moni on varmaan kuullutkin siitä, mutta sama nyt pätee kaikkeen täällä nähtävään. Asiaan siis: temppu on laskea päässä minkä tahansa viiteen päättyvän luvun neliö, esimerkiksi

$$65^2 = 4225.$$

Tämä teksti jakautuu kahteen osaan: selitykseen ja siihen, miksi temppu toimii. Ensin selitys.

Ota viitosta edeltävistä numeroista koostuva luku ja kerro se yhtä isomman luvun kanssa. Tässä siis $6 \cdot 7 = 42$. Lisää tuloksen perään $25$.

Se oli nopeaa. Sitten perustelu.

Luku $65$ voidaan kirjoittaa kahdella tavalla: joko $60 + 5$ tai $70 - 5$. Tämän vuoksi sen neliö on siis

$$65^2 = (60+5)(70-5).$$

Purkamalla sulkeet saadaan

$$60 \cdot 70 - 5 \cdot 60 + 5 \cdot 70 - 5 \cdot 5.$$

Muokataan lauseketta ottamalla jälkimmäisestä osasta yhteinen tekijä:

$$60 \cdot 70 + 5(-60 + 70 - 5).$$

Sulkujen sisällä on viitonen, joten lopulliseksi lausekkeeksi tulee

$$60 \cdot 70 + 25.$$

Todistuksen yleistäminen jätetään harjoitukseksi kiinnostuneelle lukijalle. (Matematiikka-suomi-sanakirja: "minulla on hauskempaakin tekemistä".) Sama kiinnostunut lukija voi miettiä, päättyykö minkään muun luvun neliö viitoseen.