Ystävälliset luvut

(Maths Gear myy näitäkin umpinörttejä esineitä.)

Jos täydelliset luvut ovat erinomaisuudessaan yksinäisiä, niin ystävälliset luvut ovat niiden täydellinen vastakohta: kaksikko. Nekin on tunnettu pythagoralaisten ajoista asti — vuosisatoja myöhemmin elänyt kirjoittaja antaa kunnian Pythagoraalle itselleen — ja niihinkin on yhdistetty ylimääräistä symboliikkaa.

Ajatus on taas kerran yksinkertainen. $220$ on jaollinen itsensä lisäksi luvuilla $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $11$, $20$, $22$, $44$, $55$ ja $110$. Niiden summa on $284$. Sen jakajat puolestaan ovat $1$, $2$, $4$, $71$ ja $142$ — ja niiden summa on $220$. Aika söpöä hei!

Pythagoralaiset tunsivat edellisen esimerkin ja keskiajan arabimatemaatikot löysivät lisää. 1600-luvulla eurooppalaiset Fermat ja Descartes tekivät samat löydöt uudelleen. Yllättävää kyllä, toiseksi pienin lukupari $(1184,1210)$ oli jäänyt huomaamatta, ja se löydettiin vasta vuonna 1866. Löytäjä oli vasta 16-vuotias koululainen!

Tarinaa voinee pitää yhtenä esimerkkinä siitä, kuinka harrastajatkin edistävät matematiikkaa. En tiedä, kuinka hän luvun löysi, mutta siihen varmaankin liittyi paljon manuaalista laskentaa. Vertailun vuoksi kokeilin, löytäisinkö kaksikon itse — siihen meni kirjaimellisesti kaksi minuuttia ja yksitoista koodiriviä. Tietokoneet ovat helpottaneet tätäkin urakkaa valtavasti, ja nykyään pareja tunnetaan osapuilleen miljardi kappaletta.

Ystävällisten parien löytämiseen on joitakin kaavoja jo keskiajalta, mutta ne eivät tuota kuin kourallisen tuloksia. Jo löydetyistä pareista voidaan lisäksi luoda uusia "tytärpareja", mikä on ollut laskennallisen matematiikan tutkimuksen kohteena. Vaikka avoimia kysymyksiä onkin, ystävälliset luvut eivät vaikuta olevan läheskään yhtä ahkeran tutkimuksen kohteena kuin täydelliset luvut.

Yksi syy siihen on se, että aiheet eivät olekaan niin kaukana toisistaan — oma ohjelmani löytää myös täydelliset luvut. Ajatellaan jakajien summaamista funktiona, joka ottaa luvun ja palauttaa sitä pienempien jakajien summan. Ystävälliselle luvulle tämä funktio tuottaa kahden luvun syklin. Täydellinen luku saa aikaan niin ikään syklin — yhden luvun syklin. Ja loogisesti tätä voi laajentaa vielä pidempiinkin ketjuihin... ja niitä kutsutaan seurallisiksi luvuiksi.

Jos kuvat eivät nappaa, saman voi esittää teknisemmin termein. Kutsutaan tätä funktiota vaikka nimellä $s$. Luku $n$ on täydellinen, jos $n = s(n)$. Se on ystävällinen, jos $n = s(s(n))$ eikä se ole täydellinen. Neljän luvun syklissä $n=s(s(s(s(n))))$. Eripituisia syklejä tunnetaan monta, mutta monta on vielä löytämättä. Onko esimerkiksi yhtään kolmen tai seitsemän luvun sykliä? Entä onko jokainen luku joko seurallinen tai osa ykköseen päättyvää ketjua?

Ystävälliset luvut eivät olekaan tutkimuksen kannalta kiinnostavia, vaan tämä syklejä tuottava funktio. Täydelliset luvut ovat sen kiinnostavin erikoistapaus, koska funktiolla ei ole mitään vaikutusta. Ystävälliset luvut ovat oikeista sykleistä helpoimmin lähestyttäviä. Puhumattakaan sitten PR-arvosta... vaikka numerologian voisi puolestani kirota pohjattomaan suohon, täytyyhän matikkanörteilläkin olla joku tapa söpöillä. Oli se sitten kaunista tai ei.