Lohikäärmekäyrä

(Tony Webster/Flickr. CC-BY 2.0. Muokattu värejä.)

Viime viikolla käsittelin lukujen kirjoittamista toinen toistaan oudommilla tavoilla. Tämän viikon aiheena on jatkaa vielä vähän eteenpäin kompleksilukujen parissa, mutta keskitymme vain yhteen lukujärjestelmään. Sen kantaluku on $(-1 + i)$ ja siinä elää lohikäärme.

Kompleksiluvut hädin tuskin mainitaan lukion pitkässä matikassa, joten tässä pieni pikainfo. Imaginääriyksikkö $i$ on sellainen luku, jolla $i^2 = -1$. Kääntäen se tarkoittaa sitä, että negatiivisten lukujen neliöjuuret ovat imaginaarisia: $\sqrt{-1} = i$ ja $\sqrt{-4} = 2i$.

Kompleksiluku on reaaliluvun ja imaginaariluvun summa, esimerkiksi $5 + 2i$. Yleensä se tulkitaan koordinaattina kaksiulotteisessa tasossa, jossa x-akseli kuvaa reaaliosaa ja y-akseli imaginaariosaa. Peruslaskusäännöt ovat aivan samat kuin yleensäkin.

Vaikka imaginaariluvut saivat syntyaikanaan 1600-luvulla nimensä niiden järjenvastaisuudesta, ne ovat myöhemmin osoittautuneet valtavan hyödyllisiksi työkaluiksi niin matematiikassa kuin luonnontieteissä sekä erittäin luonnolliseksi laajennukseksi reaaliluvuille (reaaliluvut ovat kompleksilukuja, joiden imaginaariosa on nolla). Tällä kertaa ei kuitenkaan mennä kompleksilukujen erinomaisuuteen — lupaan kirjoittaa siitä myöhemmin — vaan luodaan niistä lukujärjestelmä.

(Kompleksiluvun $5 + 2i$ geometrinen tulkinta.)

Otetaanpa siis $(i - 1)$ kantaluvuksi ja 0 sekä 1 numeroiksi. Yksinkertaisuuden vuoksi puhun nyt vain kokonaislukuarvoista, mutta sama pätee myös reaaliluvuille. Tässä järjestelmässä esimerkiksi luku $101_{(i-1)}$ saa siis arvon

\[ 1 \cdot (i-1)^2 + 0 \cdot (i-1)^1 + 1 \cdot (i-1)^0 = 1 - 2i. \]

Tässä taulukossa on muutama ensimmäinen luku:

$0$	$0$
$1$	$1$
$10$	$-1 + i$
$11$	$i$
$100$	$-2i$
$101$	$1 - 2i$
$110$	$-1 - i$
$111$	$-i$

Miltä ne näyttävät kompleksitasossa?

Laitetaanpa vähän lisää pisteitä... vaikkapa kaikki enintään kahdeksan numeroa pitkät luvut.

Siristä vähän, ja näet siinä lohikäärmeen. (Älä ikinä väitä matemaatikkoja mielikuvituksettomiksi...) Tämä lohikäärme on fraktaali, joka koostuu samanlaisista osista. Allaolevassa animaatiossa pisteet on väritetty sen mukaan, kuinka monta numeroa luvussa on.

Numeron lisääminen tuo kuvaan aina uuden kopion aiemmasta vaiheesta, ja vaiheiden alkupisteet asettuvat yhdelle spiraalille. Palaset linkittyvät toisiinsa tavalla, jossa yksikään piste ei mene päällekkäin — lukujärjestelmään palatakseni, yhtään lukua ei voi kirjoittaa kahdella tavalla. Samalla ne kytkeytyvät tavalla, joka täyttää enemmän ja enemmän koordinaatistoa, aina sen kokonaan täyttymiseen asti — jokainen luku on esitettävissä. $(i-1)$-kanta on siis aivan yhtä pätevä lukujärjestelmä kuin kymmenjärjestelmäkin.

Mutta ei siinä kaikki, läheskään kaikki. Kompleksilukujen geometrinen tulkinta avaa uusia ovia. Kesäkuussa kirjoitin erilaisista laatoituksista. Hanki laatikollinen keskenään identtisiä lohikäärmekäyrän palasia ja saat peitettyä vessan lattian niillä täydellisesti. Toivottavasti joku laattatehdas uskaltaa ottaa haasteen vastaan!

Oma lohikäärme on tosin vieläkin helpompi tehdä. Tämä temppu on ehkä nykyinen suosikkini, koska se linkittää niin monta erilaista matematiikan alaa yhdeksi. Mikä parhainta, tarvitset siihen vain pitkän suikaleen paperia.

Aseta suikale eteesi ja taita se kahtia. Taita se uudestaan kahtia samalla tavalla (on olennaista, että joka kerta samalla tavalla), ja uudestaan, ja uudestaan kunnes et enää onnistu. Myytinmurtajat osoittivat, että paperin voi taittaa yli seitsemän kertaa, joten odotan sinulta vähintään samaa. Avaa taitokset... ja edessäsi nousee lohikäärme.