Pizza ja sen geometria

(Bionicgrrrl/Flickr. CC-BY-NC-ND 2.0.)

Pizza, tuo elämän valo ja Italian lahja maailmalle. Sen lisäksi, että pizza muodostaa noin neljä kolmannesta opiskelijan ruokaympyrästä, on se myös matemaattisesti erittäin tärkeää:

• Pizzan korkeuden ollessa $a$ ja säteen $z$, sen tilavuus on $\pi zza$.
• Pizzalla voi havainnollistaa kiehtovaa geometrista konseptia.
• Matikan laitoksen ravintolassa on joka viikko pizzaperjantai.

Tänään tämä blogi keskittyy toiseen ja sen kirjoittaja kolmanteen kohtaan. Ensin kuitenkin pitää koukata pienen geometrisen harjoituksen kautta.

Mitä tarkoittaa kaarevuus?

Käyrän kaarevuus on helppo tajuta intuitiivisesti, mutta miten sen pukisi matemaattiseen muotoon? Oheisessa kuvassa on selvästi yksi hyvin tiukka kurvi ja toinen pehmeämpi kaari — entäs lukuina?

Piirretään kutakin kurvia vastaava ympyrä. Otetaan kaksi pistettä kurvilta, piirretään niiden kautta kohtisuorat normaalit ja normaalien leikkauspiste on ympyrän keskipiste. Mitä isompi ympyrä, sitä vähemmän kaareva kurvi: kaarevuus $\kappa$ riippuu säteestä kaavalla $\kappa = 1/r$.

Kahden pisteen valitseminen jostain kohtaa kurvia ei vielä ole ihan matemaattisesti eksaktia. Siksi pisteet valitaankin äärettömän läheltä toisiaan — ihan kuin derivaattaa laskiessa — jolloin voidaan laskea tarkka kaarevuus kurvin jokaiselle pisteelle. Voidaan myöskin sopia, että käyrän toisella puolella olevan ympyrän säde on negatiivinen, jotta erotetaan vielä kaarevuuden suuntakin.

Kolmiulotteinen versio saadaan pienellä twistillä. Otetaan pinnalta piste. Kuvittele, että leikkaat kappaleen halki sen kautta, jotta voit tutkia läpileikkauksen ulkorajaa. Kolmiulotteinen muuttuu kaksiulotteiseksi, ja kaksiulotteisen versionhan me tunnemme. Näitä läpileikkauksia on äärettömän monta, koska voit kääntää kappaletta ennen sen halkaisemista — kunhan jokainen puolitus vain tapahtuu kohtisuorasti.

(Ympyrälieriön eniten ja vähiten kaareva poikkileikkaus merkityn pisteen kautta.)

Äärettömän monesta läpileikkauksesta valitaan kaksi: se, jossa kaarevuus on suurin ja se, jossa kaarevuus on pienin (mahdollisesti negatiivinen). Näiden kahden kaarevuuden tuloa $K = \kappa_1 \kappa_2$ kutsutaan Gaussin kaarevuudeksi, ja siitä me olemme kiinnostuneita.

Erilaisia pintoja

Pinnan kaarevuus määrää, millaiset säännöt sen geometrialla on. Paperin kaarevuus on $0$, joten sillä pätee euklidinen geometria. Nimitys tulee vanhasta kunnon Eukleideesta, joka esitti tunnetun geometrian viiden aksiooman pohjalta. Viimeisen aksiooman mukaan yhdensuuntaiset, eri pisteiden kautta kulkevat suorat eivät kohtaa — tai toisin sanottuna, kolmion kulmien summa on 180 astetta. Euklidinen geometria on meille selvää ja tuttua, koska arkisessa mittakaavassa maailma noudattaa sitä.

1800-luvun alkupuolella useampi matemaatikko päätyi kuitenkin toisistaan riippumatta siihen tulokseen, että geometria toimii, vaikka viidennen säännön unohtaisi. Se vain toimii hyvin erilaisella tavalla. Viides sääntö rajoittaa geometrian meille intuitiiviseksi. Ilman sitä syntyi epäeuklidinen geometria, joka käsittelee erilaisia kaarevia pintoja.

Kuvittele maapallo. (Maa ei itse asiassa ole täydellinen pallo, mutta se on riittävän pallo tähän tarkoitukseen. Jos et puolestaan usko Maan olevan ollenkaan pyöreä, ohita seuraava koeasetelma asian todistamiseen.) Jokaisella maapallopinnan pisteellä on sama kaarevuus: pieni, mutta nollaa suurempi luku.

Aseta iso, kivanvärinen ja merenpintaan hyvin tarttuva kynä pohjoisnavalle ja piirrä suora viiva jotain pituuspiiriä pitkin päiväntasaajalle. Jatka viivaa päiväntasaajaa pitkin neljänneskierroksen verran. Sitten koukkaa toista pituuspiiriä pitkin takaisin pohjoisnavalle. Siinä on selvä kolmio, joka koostuu kolmesta suorasta viivasta... ja kolmesta suorasta kulmasta. Kolmion kulmien summa on 270 astetta!

(Kartta: Google. Kivanvärinen kynä: ei ole.)

Äskeinen ei välttämättä tunnu kolmiolta, mutta kyllä se sellainen on. Se vain on hieman erilainen kolmio kuin tavallisesti, koska se elää hyvin erilaisessa geometriassa. Maapallolle voi myös piirtää kaksi yhdensuuntaista suoraa, jotka leikkaavat toisensa: ajattele vaikka pituuspiirejä, jotka kohtaavat navoilla.^[1] Negatiivisella kaarevuudella puolestaan saataisiin aikaan satulaa muistuttava pinta, jolla kolmion kulmien summa on alle 180 astetta ja edes kaikki erisuuntaiset suorat eivät kohtaa!

Maapallon muodolla on iso käytännön vaikutus: siitä ei voi piirtää täydellistä karttaa, koska paperin ja pallon kaarevuudet eivät ole samat. (Kääntäen pallon paketoiminen lahjapaperiin ei onnistu täydellisesti.) Jokaisessa kartassa muodot, suunnat tai suhteelliset koot ovat enemmän tai vähemmän vääristyneitä. Erilaiset projektiot painottavat eri piirteitä. Tämän takia myös lentokoneiden reitit kartalla näyttävät kaarilta, vaikka koneet etenevät täysin suoraan — kaari syntyy tasolle pakotetusta pallosta.

Mutta entäs se pizza?

Tavanomainen pizza muistuttaa geometrisesti — onneksi vain sillä tavalla — paperia. Sen kaarevuus on siis $0$. Lautasella tai laatikossa odottaessaan se myöskin toteuttaa sitä: kaarevuus on joka suuntaan nolla, ja nolla kertaa nolla ei ole yhtään sen enempää. Ota pizzanpalanen (tai paperi) käteesi, ja painovoima alkaa vetää vapaita osia siitä alaspäin.

Edellinen geometria kuitenkin rajoittaa kaarevuutta. Se ei voi muuttua miksikään, ja kuten tiedämme, nolla kertaa mitä tahansa on edelleen nolla. Siksi on vain kaksi vaihtoehtoa: pizza kaartuu sivusuunnassa, muttei pituussuunnassa; tai se kaartuu pituussuunnassa, muttei sivusuunnassa. Jos se kaartuisi molemmissa, kaarevuuksien tulo ei olisi enää nolla.

Tämän takia pizzaa syödään puristamalla se pienelle kaarelle sivusuunnassa. Geometria pitää huolen siitä, ettei herkku lörpähdä kohti lattiaa!

---

^[1] Leveyspiireistä vain päiväntasaaja on suora: loput ovat erisuuruisia ympyröitä. Jos leveyspiirit olisivat suoria, meillä olisi myös länsi- ja itänavat. Kuvittele esimerkiksi leveyspiiri, joka kulkee kymmenen metrin päässä pohjoisnavasta.