Kuinka kysyä arkaluonteinen kysymys

Ei, nyt ei puhuta ihmissuhdetaidoista vaan tilastotieteen kurssilla vastaan tulleesta tempusta. Tämä kikka ei ehkä auta kasvotusten keskustelussa, mutta yleisellä tasolla siitä voi olla hyötyä.

Joskus halutaan selvittää, kuinka paljon ihmiset tekevät asioita, joista ei välttämättä haluta puhua ääneen. Esimerkiksi lukion matikanope saattaisi haluta tietää, kuinka moni ryökäle laskee helppoja yhteenlaskuja laskimella. Vaikka opettaja kuinka vakuuttelisi, että vastaukset ovat anonyymeja, oppilailla voi olla vaikeuksia luottaa yksityisyytensä (ja matikannumeronsa) säilymiseen.

Miten opettaja saisi tietää, moniko opiskelija turvautuu laskimeen — ilman, että oppilailla olisi paineita valehdella?

Heitetään kolikkoa. Jokainen oppilas arpoo toimintatapansa ennen vastaamista ja pitää sen salassa. Jos kolikko laskeutuu kruunalle, hän vastaa rehellisesti — jos klaavalle, hän vastaa käyttäneensä laskinta, riippumatta asioiden oikeasta laidasta. Olettaen, että laskimenkäyttäjien osuus on kohtuu pieni (hah), tämä turvaa yksityisyyden: suurin osa kyllä-vastauksista on kolikon ansiota, eikä niistä voi erottaa rehellisesti vastanneita.

Miten sitten tulokset saadaan? Merkitään laskimenkäyttäjien osuutta kirjaimella $p$. Vastaavasti päässälaskijoiden osuus on $(1-p)$. Kuitenkin puolet päässälaskijoista on vastannut käyttävänsä laskinta, koska kolikko sanoo niin. Todennäköisyyksien laskusäännöillä:

\[ P(\text{ei laskinta}) = \frac 1 2 (1 - p). \]

Tästä saadaan suoraan, että päässälaskijoita on tuplasti ei-vastauksiin nähden... ja loput ovat oikeasti laskimenkäyttäjiä! Jos siis esimerkiksi $60~\%$ oppilaista vastaa käyttäneensä laskinta, päässälaskijoita on $2 \cdot 40~\% = 80~\%$ luokasta. Loput $20~\%$ käyttävät laskinta, mutta heitä ei voi erottaa, koska kyllä-vastauksen antaneista kaksi kolmannesta on päässälaskijoita.

Karmea totuus paljastuu siis vasta kokeessa!