Roope Ankan rahasäiliö

(Kuvat omiani, hahmot © Disney.)

Nyt puhutaan maailman rikkaimmasta ankasta — tosin tarinamme alkaa hetkestä, jona hän ei ollutkaan niin rikas. Klassisessa Carl Barksin tarinassa Aku Ankka pelastaa Tyhjälän joulun (ensi kertaa Aku Ankan numerossa 12B/1956, ks. INDUCKS-tietokanta) Roopen rahasäiliön pohja romahtaa alla olevaan onkaloon ja kolikot jäävät ohuen ohuen kivikerroksen päälle, josta niitä sitten pelastetaan pienellä leikkijunalla.

Mutta kuinka paljon kyseiset killingit oikeasti painavat — ja kuinka arvokkaita ne ovat? Onko lanttien varastointi päällekkäin alkuunkaan viisas idea? Tämän selvittämisestä tuli hauska viikonloppuprojekti, johon kuului runsaasti tutustumista... tuota, kirjalliseen lähdeaineistoon. Matikka ei myöskään ole yläkoulutasoa pelottavampaa, joten kuka tahansa voi laskea mukana. Eiköhän aloiteta!

Rahakasan mitat

Ankkafanit, mukaanlukien lehden toimitus, ovat erittäin tarkkoja yksityiskohdista, joten rahalaarin tilavuudelle on kanoninen lukuarvo: Roopen mukaan se on kolme kuutioeekkeriä. Mikäli eekkeri kuulostaa vanhanaikaiselta, olet oikeassa: se on vanha pinta-alan yksikkö. Pinta-alan. Vanha kettu huijaa pahemmin kuin P.J. Petkunterä, koska pinta-ala korotettuna kuutioon tuottaa kuusiulotteisen suureen. Ongelma on siinä, että tilavuus on kolmiulotteista!

Kuusiulotteinen avaruus ei ole matemaatikoille mikään ongelma, mutta arkijärkeen se sopii harvinaisen kehnosti. Matematiikot tapaavat aloittaa ongelmien parissa painimisen yksinkertaisilla esimerkeillä, joten tehkäämme mekin niin.

Suora on yksiulotteinen. Sillä voi kulkea eteenpäin ja taaksepäin. Jos suoralta valitaan jokin piste, oman paikkansa voi sanoa kertomalla, miten kauas pisteestä tarvitsee kulkea ja kumpaan suuntaan.

Kaksiulotteisessa tasossa on yksi suunta enemmän. Nyt oma sijainti on askelia vasemmalle/oikealle ja kapuamisia ylös/alas.

Kolmiulotteinen avaruus on meille tuttu: siinä voi kulkea vasemmalle, eteen, ylös ja vastakkaisiin suuntiin. Samalla logiikalla toimii myös neliulotteinen avaruus: vasemmalle, eteen, ylös, ja... jonnekin? Tämä tuntematon suunta on kohtisuorassa kaikkia kolmea tuttua vastaan, mutta minne se osoittaa? Ongelma on siinä, että kolmiulotteisina otuksina meidän on perin vaikeaa kuvitella uutta ylimääräistä ulottuvuutta. Pienellä esimerkillä voi kuitenkin vähän valaista asiaa.

Kuvittele eteesi kehikkoon pingotettu saippuaverho, joka ei poksahda rikki sitten millään. (Modernimmin tämä voisi olla vaikka elokuvista tuttu hologramminäyttö.) Tämä kupla on kaksiulotteinen maailma. Tee sitten jotain, mitä jokainen haluaisi tässä tilanteessa tehdä eli työnnä kätesi sen läpi. Kuplan asukas näkisi poikkileikkauksen kädestäsi, eli kuvan muodossa suunnilleen tällä tavalla:

Kolmiulotteisessa maailmassa voi "kiertää" tason ympäri. Neliulotteinen maailma toimii tällä tavoin suhteessa omaan ympäristöömme: jos neliulotteinen kappale työntyisi oman "kuplamme" läpi, näkisimme outoja kolmiulotteisia poikkileikkauksia. Mutta tämä ei auta viidennen saatikka kuudennen ulottuvuuden ajattelemisessa! Jos aivosi eivät vielä ole tarpeeksi nyrjähtäneet, tässä on animaatio pyörivästä neliulotteisesta kuutiosta, tai tarkemmin sen kolmiulotteisesta varjosta:

(Cumulus/Wikimedia Commons. Public Domain.)

Rahakasan realistisemmat mitat

Klassinen Roope ei siis anna järkeviä mittoja rahasäiliölleen. Onneksi maailmassa on yksi intohimoinen, ylivertaisessa asemassa oleva ankkatuntija: Keno Don Rosa. Jos minulta tai useimmilta muilta samaan sukupolveen kuuluvilta kysytään, Rosa on Carl Barksin manttelinperijä maailman parhaana ankkapiirtäjänä.

Tarinassa Talon kokoinen vastustaja (AA 26/2001) kavala Karhukopla etsii käsiinsä rakennuspiirrokset Roopen rahasäiliöön. Insinööri kun koulutukseltaan on, Rosa ei voinut vastustaa aukeaman omistamista kyseiselle piirrokselle. Siitä voi suoraan lukea rahakasan koon: 40 metriä leveä ja 30 pitkä. (Miinus seinät. Ja jos ihan rehellisiä ollaan, mittojen perässä lukee "malli", mutta kuka siitä välittäisi.) Muissa tarinoissa nähdään säiliön syvyysmittari, jossa lukee yleensä $100$. Tämä ei ole metrejä vaan jenkkityyliin jalkoja, joten pinon korkeus on vajaat 31 metriä.

Kolikoiden pakkaaminen

Kolikot eivät kuitenkaan täytä kaikkea tilaa, vaan niiden väliin jää pakosti tyhjää. Kappaleiden pakkaaminen on siitä jännittävä matemaattinen ongelma, että vuosituhansienkin jälkeen siihen liittyy paljon avoimia kysymyksiä.

Kolikot ovat ympyrälieriöitä ja jos ne ovat samassa tasossa, voidaan tutkia pelkästään niiden pohjaympyröitä. Tähän tapaukseen on helppo ratkaisu: kolikot kannattaa asettaa hunajakennomaisesti, jotta niiden väliin jäisi mahdollisimman vähän tyhjää. Tässä täyttöaste olisi noin $90.7~\%$. Jos Roope-setä haluaisi pakata säiliönsä mahdollisimman tiiviisti, hän kasaisi kerroksittain hunajakennoja.

Ikävä kyllä tämä ei toimi, kahdestakin syystä. Ensinnäkin kolikoita on monenkokoisia, mutta edellinen toimii vain keskenään samankokoisten kolikoiden kanssa. Tämä olisi vielä helppo kiertää järjestelemällä samanlaiset kolikot omiin kerroksiinsa. Ikävä kyllä Roope tekee tasan päinvastoin: rahoille etuovena toimii kattoluukku. Kolikkomeri on väistämättä sekaisin.

Vaikka asiaan olisi varmasti matemaattisempiakin työkaluja, valitsin helpon tien: kokeilemisen. (Tässä kohtaa opiskelijakollegani voivat lyödä minua ja passittaa fyysikoiden seuraan.) Opiskelijakämpässä kolikot ovat harvinaisuus, mutta kotona vieraillessani lainasin kolikkoboksia, mittasin rahakasan mitat ja laskin sisällön. Netistä löytyvien eurokolikoiden mittojen perusteella päättelin kolikkojen tilavuuden. Täyttöaste saadaan helposti näiden osamäärästä:

\[ \frac{\text{kolikkojen tilavuus}}{\text{kokonaistilavuus}} \]

Omien havaintojeni mukaan sekavassa kasassa olevat kolikot täyttävät noin $50~\%$ tilasta. Tämä on teoreettiseen maksimiin verrattuna surkeasti, mutta ainakin se helpottaa lanttimeressä uimista. (Sen fysiikasta ei puhuta.)

Paljonko läjä painaa?

Jotta tietäisimme, paljonko kolikkokasalla on painoa, tarvitaan tilavuuden lisäksi tiheys. Kolikoiden tiheys puolestaan riippuu ajasta ja paikasta.

Onneksi Rosan käsialaa on myöskin eeppinen sarja Roope Ankan elämä ja teot, joka täyttää Barksin tarinoiden aukot laajaksi kokonaisuudeksi. Sarja ajoittaa suurimman osan Roopen omaisuudesta 1900-luvun ensimmäisille vuosikymmenille. Koska tarinat sijoittuvat Yhdysvaltoihin, riittää siis hakea Wikipediasta tiedot senaikaisista dollareista: aikakaudella lyötiin kahta sarjaa, joista kummassakin kolikot koostuvat samasta hopea-kupariseoksesta.

Lukuunottamatta penniä. Nykyään sadasosadollarin kolikko on outolintu, jonka raaka-aineet maksavat enemmän kuin kolikolla on arvoa ja jota juuri kukaan ei edes halua käyttää. Silti niitä tuotetaan valtavasti. (Yksi isoimmista pennin puolustajista on, yllättäen, niihin metallin myyvä kaivosyhtiö.) Vuosisata takaperin penneillä kuitenkin oli arvoa ja Roopelle kolikot ovat muutenkin keräilykohteita, muistoja.

Tässä kohtaa minun on pakko turvautua huijaamiseen: lasketaankin yläraja kolikoiden painolle. Isommat kolikot on tehty tiheämmästä materiaalista, joten pennien huomioiminen ainoastaan keventäisi lastia hieman. Silloinen 50 sentin kolikko painoi 12,5 g, oli halkaisijaltaan 30,6 mm ja paksuudeltaan 1,8 millimetriä. Sen perusteella voidaan laskea lantin tiheys:

\[ \frac{12.5~\mathrm{g}}{\pi \cdot (\frac 1 2 \cdot 30.6~\mathrm{mm})^2 \cdot 1.8~\mathrm{mm}} \approx 9~400~\mathrm{kg/m^3}. \]

...ja samaa kaavaa toisinpäin käyttämällä rahakasan massa:

\[ 50~\% \cdot 40~\mathrm{m} \cdot 30~\mathrm{m} \cdot 31~\mathrm{m} \cdot 9~400~\mathrm{kg/m^3} \approx 175~000~000~\mathrm{kg}. \]

175 tuhatta tonnia saattaa kuulostaa paljolta, ja sitä se onkin, mutta se on vain puolet Empire State Buildingista! Suurimmille öljytankkereille ei olisi mikään ongelma kuljettaa Roopen rahoja. Wolfram|Alpha tietää myös, että rahakasa painaa enemmän kuin kultaa on ikinä kaivettu, mutta lantithan ovatkin hopeaa ja kuparia.

Painetta ja nostetta

Minulle ainakin tulisi ensimmäisenä mieleen, että alimmat kolikot ovat kuin junan alle jääneitä: täysin liiskana ylläolevan painon johdosta. Yllättävää kyllä, näin ei ihan välttämättä olekaan. Sitä ennen pitää kuitenkin selvittää kolmen käsitteen ero: paine, paino ja massa.

Massa on tuttu asia: sen yksikkö on kilogramma ja sen jo kolikoille laskimmekin. Painolla ja massalla sen sijaan on hienovarainen ero, vaikka arkikielessä ne ovatkin synonyymejä. Paino nimittäin riippuu siitä, missä sitä mitataan. Se määritellään painovoiman aiheuttamana vetovoimana ja siksi sen yksikkö on voiman yksikkö newton. Jos Roopen rahat olisivat Kuussa, niiden massa olisi sama, mutta paino vaivaisen kuudesosan totutusta.

Koska Maa ei ole täsmälleen pallo vaan hieman litistynyt, sama ilmiö nähdään tälläkin planeetalla. Navoilla esineet painavat puoli prosenttia enemmän kuin päiväntasaajalla!

Yhdellä kirjaimella erottuva paine määritellään puolestaan voiman eli painon avulla. Lyijykynän teroittamattomalla päällä voi tökätä huoletta sormeensa, mutta terävällä päällä ei — harpin kärjestä puhumattakaan. Ainoa ero on pinta-alassa, jolla voima vaikuttaa. Paine on siis voimaa jaettuna jollekin pinta-alalle. Rahasäiliön tapauksessa se on

\[ \frac{\text{putoamiskiihtyvyys} \cdot \text{rahojen paino}}{\text{pohjan pinta-ala}} = \frac{9.81~\mathrm{m/s^2} \cdot 1.75 \cdot 10^8~\mathrm{kg}}{40~\mathrm m \cdot 30~\mathrm m} \approx 1.43~\mathrm{MPa}. \]

Suunnilleen sama paine olisi 150 metrin syvyydellä veden alla. (Se on myöskin samaa suuruusluokkaa ihmisen purennan kanssa.) Se ei vielä riitä litistämään rahoja, mutta vuosikymmenten varrella rasitus tekee varmasti hallaa varsinkin huonossa asennossa oleville rahoille. En ole fyysikko, joten en osaa kommentoida tätä tarkemmin.

Yksi fysiikan juttu vielä. Tarinassa Ensimmäinen keksintö (AA 19-20/2002) Pelle Peloton lopulta pelastaa rahat Tyhjälän syvyyksistä superheliumilla, joka sulkee kolikot kaasukuplan sisään. Jotta rahat nousisivat, kuplan tiheyden täytyy olla ilman tiheyttä pienempi. Tiheys on massa jaettuna tilavuudella, joten ollaan ratkaisemassa epäyhtälöä

\[ \frac{\text{rahojen massa}}{\text{kuplan tilavuus}} < \text{ilman tiheys}. \]

Jotta rahat nousisivat, kuplan täytyisi olla sangen suuri. Jos se olisi pallon muotoinen, sen halkaisija olisi peräti 640 metriä!

Kuinka paljon rahaa?

Tähän mennessä olen jättänyt setelit huomiotta. Säiliössä on kuitenkin aika monta tukkua niitä. Toisaalta samalla olen jättänyt kaikkein pienimmät kolikot huomiotta. Jos haluaisin käyttää paljon aikaa, arvioisin eri kolikoiden suhteelliset osuudet Yhdysvaltojen rahapajan tuotantotilastoista ja sitten tutkisin kuvista setelien määrää.

Tällä kertaa en kuitenkaan tee niin, vaan huijaan taas. Tarkemmin sanottuna teen erittäin karkean arvion. Jos suljen silmäni yhtä aikaa pieniltä kolikoilta ja suurilta seteleiltä, ehkä käykin niin, että virheet kumoavat toisensa ja saan melko tarkan arvion! Oletan siis koko säiliön olevan täynnä puolen dollarin kolikoita.

\[ \frac{175~000~000~\mathrm{kg}}{12.5~\mathrm g} \cdot 0.50~\$. \]

Tästä vastaukseksi tulee noin 7 miljardia dollaria. Kolikoiden määrässä mitattuna siinä onkin suunnilleen koko saman ajanjakson tuotanto! Ei ihme, että kaikki eivät riemuitse Roopen afääreistä.

Entäs Karhukopla?

Iso urheilukassi on tilavuudeltaan ehkä 80-litrainen. Jos sen pakkaa pullolleen kolikoita (50 % täyttöasteella), painoa kertyy lähes neljäsataa kiloa. (Kantajan tulee olla vahva kuin... karhu.) Kolikoita siinä kuitenkin olisi vain kymppitonnin edestä. Jos siis koskaan eksyt rahalaariin hämäräpuuhissa, suosittelen kahmimaan seteleitä. Tässä tapauksessa jopa naurettavat dollarin setelit ovat parannus.