Kannattaako Lotto plussata?

Veikkaus työllistää matikkabloggaria. Olen kirjoittanut, kannattaako Lomatonni, kannattaako Kaikki tai ei mitään, kannattaako Lotto tuplata, kannattaako Lotto tuplata uusin säännöin, ja tässä sitä taas mennään. Uusin uudistus koko kansan suosikkipeliin on tuplauksen korvaaminen hieman erilaisella plussauksella.

Tuttuun tapaan tarkastelen ensin odotusarvoa eli sitä, kuinka paljon keskimäärin voittaa. Sen jälkeen kuitenkin teen jotain, mistä on ollut tarkoitus kirjoittaa jo pitkään: esitän ajatuksen sen puolesta, ettei lottoaminen ehkä olekaan täysin tyhmää. Se muuttaa analyysia merkittävällä tavalla.

Keskimääräinen voitto

Ensin kuitenkin odotusarvo. Koska jokainen kierros on erilainen, viime kerralla arvioin "tyypillisen" kierroksen pelin sääntöjen perusteella ja olettamalla aika tavallisen 3,6 miljoonan euron pääpotin, joka silloin sattui olemaan viimeisin tulos. Pienet voitot ovat aina kiinteän suuruisia ja Veikkaus päättää päävoiton suuruuden, mutta keskimmäiset voittoluokat riippuvat pelattujen rivien määrästä. Taulukko näyttää tältä eikä juuri eroa Loton sivuilta löytyvästä vastaavasta:

\[ \begin{array}{r|c|c} & \text{Voittajia} & \text{Voitto} \\ \hline \text{7 oikein} & 1 & 3~600~000~€\\ \text{6+1 oikein} & 2 & 110~000~€\\ \text{6 oikein} & 70 & 2~070~€\\ \text{5 oikein} & 3440 & 50~€\\ \text{4 oikein} & & 10~€ \text{ (vakio)}\\ \text{3+1 oikein} & & 2~€ \text{ (vakio)}\\ \text{Vain plusnumero oikein} & & 5~€ \text{ (vakio)}\\ \end{array} \]

Tuplauksen aikana viimeinen luokka oli "3 ja tuplausnumero oikein", arvoltaan kaksi euroa. Nyt tuplausnumeron sijasta arvotaan erillinen plusnumero välillä 1–30. Myös pelaaja valitsee plusnumeron, ja jos nämä sattuvat olemaan samoja, ensimmäistä ja viimeistä luokkaa lukuunottamatta voitto viisinkertaistuu. Jotta tämä etu ei tulisi ilmaiseksi, plussattu rivi maksaa 1,50 € tavanomaisen euron sijaan. Toisin kuin tuplauksessa, plusnumero ei kuulu riviin vaan on erillinen.

Odotusarvo tarkoittaa keskimääräistä tulosta. Sen laskeminen on harvinaisen helppoa: kerrotaan voiton määrä ja todennäköisyys keskenään. Koska Lotossa on monta voittoluokkaa, koko pelin odotusarvo on eri voittojen odotusarvojen summa. Täysvoiton odotusarvo on kuvitteellisella rivillämme

\[ 3~600~000~€ \cdot \frac{1}{18~643~560} \approx 0.193~€. \]

Eri voittojen todennäköisyydet löytyvät Veikkauksen sivuilta, enkä syvenny niihin tässä tarkemmin. Loppujen plussaamattomien voittoluokkien odotusarvo on kaavahirviö

\[ \begin{align*} &\,{}110~000~€ \cdot \frac{7}{18643560} + 2~070~€ \cdot \frac{224}{18643560}\\ &\quad{}+ 50~€ \cdot \frac{11088}{18643560} + 10~€ \cdot \frac{190960}{18643560} + 2~€ \cdot \frac{173600}{18643560}\\ &\approx 0.217~€. \end{align*} \]

Yhteensä tavallisen lottorivin odotusarvo on siis $0.193~€ + 0.217~€ \approx 0.41~€$. Koska rivi maksaa euron, keskimäärin takkiin tulee kuusikymmentä senttiä. Mutta miten on uuden pelin laita?

Koska plusnumero on kokonaan muista erillinen, sen osumisen todennäköisyys on helppo laskea. Vaihtoehtoja on kolmekymmentä, joten pelaaja ja poliisihallituksen arvontakone ovat samaa mieltä todennäköisyydellä $1/30$. Päävoittoon plussaus ei vaikuta, joten sen odotusarvo ei muutu. Uuteen "vain plusnumero oikein" -luokkaan päätyy kun varsinaisista numeroista tasan 0, 1, 2 tai 3 on oikein. Siispä sen odotusarvo on

\[ \underbrace{\frac{1}{30}}_\text{plusnumero oikein} \underbrace\cdot_\text{ ja } \underbrace{\frac{18267680}{18643560}}_\text{0-3 oikein} \cdot 5~€ \approx 0.163~€. \]

Huomaa, että tämän voittoluokan odotusarvo on aika suuri! Lisäksi voittojen viisinkertaistaminen tarkoittaa sitä, että $1/30$ todennäköisyydellä saa "ylimääräiset neljä" voittoa. Lopullinen odotusarvo on siis

\[ \underbrace{0.193~€}_\text{7 oikein} + \underbrace{0.217~€}_\text{muut voitot} + \underbrace{\frac{1}{30} \cdot 4 \cdot 0.217~€}_\text{viisinkertaistaminen} + \underbrace{0.163~€}_\text{vain plus oikein} \approx 0.60~€. \]

Plussattu rivi tuo melkoisen mäjäyksen lisäarvoa — melkein parikymmentä senttiä! Tämä kuulostaa hyvältä aina siihen asti, että muistaa plussauksen maksavan puoli euroa. Taulukoksi tiivistettynä siis:

\[ \begin{array}{r|c|c|c} & \text{Odotusarvo} & \text{Hinta} & \text{Tappio pelaajalle} \\ \hline \text{Tavallinen peli} & 0.41~€ & 1.00~€ & 0.59~€\\ \text{Plussaus} & 0.60~€ & 1.50~€ & 0.90~€\\ \text{Poistunut tuplaus} & 0.51~€ & 1.30~€ & 0.79~€ \end{array} \]

Mitä tästä voidaan päätellä? No, keskimäärin Lotossa ei voita. Veikkaus vetää aina noin 60 prosenttia välistä. Jos haluaa minimoida tappionsa, ei kannattanut tuplata eikä nyt ainakaan plussata.

Mutta tästähän ei ole kyse. Odotusarvot kiinnostavat vain Veikkausta. Tällä analyysilla ei ole mitään väliä satunnaiselle pelaajalle.

(Löysin tämän kirjan tilastotieteen opiskelijahuoneesta. Kyseinen huone on kellarin pienin ja hämärin komero, jonka katossa kulkee viemäriputkia. Päättele siitä.)

Miten plussauksesta tulee kannattavaa

Useimmille Loton pelaajille euro tai puolitoista on merkityksettömän pieni summa. (Opiskelija saa sillä kahvin.) Siksi tappio ei tunnu oikein missään. Unohdetaan taulukon tappiosarake ja katsotaan pelkästään voittoa. Siinä on positiivinen luku, ja erityisesti plussaus tuntuu paljon peruspeliä kannattavammalta. Ihmismieli yliarvioi potentiaalisen voiton.

Mennään vielä syvemmälle psykologiaan. (Huom: en opiskele psykologiaa.) Eikö olekin, että satasen voitto tuntuu isommalta kuin kympin voitto? Mutta jos voittaisit miljoonan, et varmaankaan harmittelisi, ettei tullut 1 000 100 euroa? Rahan arvo on suhteellista. Päävoiton ja pikkuvoiton tunne-ero ei ole miljoonakertainen, ja pienikin voitto tuntuu hyvältä.

En tiedä, minkälaista tutkimustietoa Veikkauksella on käytössä, mutta otetaan esimerkiksi neliöjuurikäyrä. Tällöin kahden euron voitto toisi $\sqrt 2 \approx 1.4$ yksikköä hyvää mieltä, sadan euron voitto $\sqrt{100} = 10$ yksikköä ja miljoonapotti tuhat yksikköä.

Tämän myötä kuvitteellisen kierroksen voittotaulukko näyttääkin tältä:

\[ \begin{array}{r|c|c|} & \text{Voitto} & \text{Fiilis} \\ \hline \text{7 oikein} & 3~600~000~€ & 1900\\ \text{6+1 oikein} & 110~000~€ & 330\\ \text{6 oikein} & 2~070~€ & 45\\ \text{5 oikein} & 50~€ & 7\\ \text{4 oikein} & 10~€ & 3\\ \text{3+1 oikein} & 2~€ & 1\\ \text{Vain plusnumero oikein} & 5~€ & 2\\ \end{array} \]

Kun kaikki edelliset laskelmat tekee uusiksi tätä taulukkoa käyttäen, peruspelin odotusarvoksi tulee 45 tuhannesosaa ja plussaukselle peräti 116 tuhannesosaa. Tällä kaavalla plussauksesta tulee kaksi ja puoli kertaa parempi mieli!

Otetaan vielä yksi havainto. Peruslotossa jokin voitto tulee keskimäärin 50 kierroksen välein. Plussaus tuo mukanaan sen, että hävitessään — eli lähes aina — on $1/30$ mahdollisuus voittaa kuitenkin. Ei vaadi monimutkaista päättelyä havaita, että tällöin voittaa keskimäärin 30 kierroksen välein. Kun kirjoitin Kaikki tai ei mitään -pelistä, totesin siinä pelissä voittojen tulevan tiuhaan. Nyt tällainen "ei mitään"-tyylinen sääntö on Lotossakin. Voittoja tihennettiin edellisessäkin uudistuksessa.

Veikkauksen olemassaolon tarkoitus on kerätä rahaa. Vastineeksi pelaaja saa jännitystä ja satunnaisia yllätyksiä. Kun panos on pieni ja tappiokin menee hyvään tarkoitukseen, sitä ei ajattele menetyksenä. Plussaus tukee kumpaakin näistä: Veikkaus voittaa rahallisesti, mutta pelaaja parantaa mahdollisuuksiaan endorfiiniin. Kyseessä on täydellinen koukuttamismekanismi, joka hyödyntää ihmisen epärationaalisuutta.

Jos tavoitteesi on ansaita, suosittelen sijoittamaan muuhun kuin kuponkeihin. Mutta jos haet pientä jännitystä, ei lottoaminenkaan ole kelvoton tapa. Paino sanalla pientä. Kaikkiin uhkapeleihin pätee, että liian paljon pelatessa voitot alkavat menettää arvoaan. Samalla tappiot eivät enää ole sivuutettavissa, joten odotusarvo muuttuu negatiiviseksi: pelit tuovatkin huonoa oloa.

Mutta kyllä vain: matematiikan opiskelija antoi juuri luvan pelata rivin tai kaksi viikossa. Ja kun sitä kuitenkin kysytään, niin syntymäpäiviä valitsemalla joutuu jakamaan voittonsa useamman kanssa ja kaikki rivit ovat yhtä todennäköisiä, jopa 1-2-3-4-5-6-7.