Kuinka monta lumihiutaletta lumiukossa on?

Jonkin aikaa sitten Twitter-piirissäni käytiin tämänkaltainen keskustelu:

(Alkuperäinen twiitti.)

Ah, miten ihastuttava ja vuodenaikaan sopiva kysymys! Kiitos @Dragon_Dodo ja @SamHartburn! Kertauksena siis Fermi-arviolla, jollaisia tässäkin blogissa on sangen monta vilahtanut, tarkoitetaan arviota, joka kasataan kertomalla yhteen monta karkeaa arviota ja toivomalla, että virheet kumoavat toisensa. Mitä pidempi ketju, sitä parempi arviosta teoriassa tulee. (Tällä kertaa ketju tosin pysyy lyhyenä.)

Tämä on siitäkin mukava kysymys, että sitä pohtiessa saa edes kuvitella talvea. Kun aloin kirjoittaa tätä, Helsingissä ei ollut hiutalettakaan lunta. Sitten tuli Lumi-inferno™ (kehäkolmosen ulkopuolisella kielellä: tavallinen talvisää). Sitten lumi suli. Sitten taas... no, tarinan opetus on, että täällä ei ole kauheasti lunta. Siksi tämä koko arvio on tehty sisätiloissa matemaatikolle sopivalla teoreettisella tavalla.

Se ei tietenkään tarkoita, etteikö kokeellinen tutkimus olisi nastaa. Siksipä kannustan kaikkia kykeneviä rakentamaan lumiukon tieteen nimissä!

Tässä tekstissä viittaan lumiukolla sellaiseen, joita itse olisin väsännyt alakouluikäisenä: kolme osapuilleen palloa, jotka on kasattu suuruusjärjestykseen; koko hahmolla korkeutta ehkä noin 120 senttiä. Tämä on niin epätarkka määritelmä, että matikan oppikirjaan sillä ei olisi mitään asiaa — kompensoin tätä virhettä olemalla piittaamatta siitäkään vähästä seuraavissa kappaleissa.

Lumiukon massa: tylsä tapa

Aloitetaan perusgeometrialla, koska se kuuluu koulusivistykseen niin kuin salaatti lautasmalliin: pinnallisesti kovin turhan näköistä, mutta jätäpä väliin niin ei hyvää seuraa. (Henkilökohtainen mielipiteeni on, että perinteinen geometria on käytännöllistä, historiallisesti arvokasta ja matematiikan aloista ehdottomasti tylsintä.)

Sattuu käymään niin hyvin, että $120~\mathrm{cm}$ korkean lumiukon voi kasata halkaisijoiltaan kivan pyöreistä palloista: $30~\mathrm{cm}$, $40~\mathrm{cm}$ ja $50~\mathrm{cm}$. Ne myöskin tuottavat visuaalisesti miellyttävän näköisen ukon:

... ainakin sitten, kun ne ovat vähän litistyneet, jolloin korkeus ei enää ole sama, mutta ei välitetä moisista pikkujutuista. Peruskoulun oppikirjan tai lukiolaisten tapauksessa MAOLin sivuilta löytyy pallon tilavuudelle kaava $V = 4 \pi r^3 /3$, jonka avulla onkin helppo laskea koko lumiukon tilavuus.

\[ \frac{4\pi}{3} \left( \frac{0.3~\mathrm{m}}{2} \right)^3 + \frac{4\pi}{3} \left( \frac{0.4~\mathrm{m}}{2} \right)^3 + \frac{4\pi}{3} \left( \frac{0.5~\mathrm{m}}{2} \right)^3 \approx 0.11~\mathrm{m}^3. \]

Vastasataneen lumen tiheys on luokkaa $100~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$ eli suurin osa tilavuudesta on pelkkää ilmaa. Tämä on helppo osoittaa puristamalla lunta kädessään — ei ole kovin vaikeaa ei. Jään tiheys on hieman nestemäisen veden tiheyttä $1000~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$ pienempi, koska jää suostuu kellumaan. Lumiukko lienee näiden tiheyksien välissä, koska höttö ei kestäisi omaa painoaan eikä kukaan yritä tehdä tiukkaa jääukkoa. Sovitaan kompromissiksi vaikka $300~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$, jolloin ukkomme painaa $33~\mathrm{kg}$.

Onko tämä nyt sitten paljon vai vähän, sitä on vaikea sanoa helsinkiläisestä opiskelijakämpästä käsin. (Tutkimaan!) Onneksi tämänkin asian voi laskea toisella tavalla.

Lumiukon massa: brittiläisittäin

Lumiukko (1982) on joka joulun klassikkoelokuva, jossa britit osoittavat täydellisen piittaamattomuutensa Joulupukista, lumen sulamisesta, lentoturvallisuudesta ja joko maantieteestä tai pingviinien elinpiiristä, noin muutamia mainitakseni. (Kenties se on metafora Brexitille?) Elokuvan lumiukko ei koostu kolmesta pallosta eikä ole satakaksikymmentäsenttinen, vaan vastaa mittasuhteiltaan aikuista miestä.

Keskimääräinen aikuinen mies Euroopassa on jotakuinkin $180~\mathrm{cm}$ pitkä ja $80~\mathrm{kg}$ painava. Tämä sopii hyvin lumiukkoamme ajatellen, koska pituuksien suhde on nätisti $2/3$. Tässä kohtaa pitää pysähtyä tarkistamaan, mitä on tekemässä. Meitä kiinnostaa tilavuuksien suhde, ja se on $(2/3)^3$.

Sanon tämän siksi, että olen unohtanut potenssiinkorottamisen ihan riittävän monta kertaa. Tässä mokaamisessa tosin on pitkät perinteet: Eräässä versiossa eräästä tarinasta muuan kaupunki antiikin Kreikassa kärsi rutosta. Oraakkeli neuvoi kaupunkilaisia kaksinkertaistamaan Apollon alttarin. Asukkaat laajensivat mitat kaksinkertaisiksi ja ihmettelivät, kun mitään ei tapahdu — kai nyt, kun he kahdeksankertaistivat tilavuuden!

Jos tiheys ei muutu, suhteen perusteella 120-senttinen lapsi painaa $(2/3)^3 \cdot 80~\mathrm{kg} \approx 24~\mathrm{kg}$, mikä ei ole kasvukäyriä ajatellen kovin kaukaa haettua. Täytyy kuitenkin huomioida, että ihmisen tiheys on samaa luokkaa kuin veden — lähde: kellumme juuri ja juuri — mutta lumiukon tiheys vain alle kolmannes siitä.

Tiheys huomioonottaen lumiukko olisi alle kymmenkiloinen. Koska elokuvan lumiukko on paljon keskimääräistä ihmistä pyöreämpi vähän kaikkialta, uskaltaisin vaikka tuplatakin painon johonkin viidentoista kilon tuntumaan.

Nyt meillä on kaksi veikkausta: $15~\mathrm{kg}$ ja $33~\mathrm{kg}$. Vaikka luvut näyttävät todella erilaisilta, onhan jälkimmäinen kaksinkertainen, ne ovat samaa suuruusluokkaa ja siten täysin kelpoisia meille. Otetaan $24~\mathrm{kg}$ näiden puolestavälin sopivaksi painoksi ja siirrytään miettimään, paljonko lumihiutale painaa.

Lumihiutaleen massa: tylsä tapa

Lumihiutale on jäätynyt sadepisara. Sulan sadepisaran halkaisija on about millimetri. Tilavuus kertaa tiheys on massa elikkä

\[ \frac{4\pi}{3} \cdot (0.5~\mathrm{mm})^3 \cdot 1000~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \approx 0.5~\mathrm{mg}. \]

Hauuuuukotuuus. Onneksi on toinenkin tapa.

Lumihiutaleen massa: netistä löytynyt väite

Wikipedia sanoo, että lumihiutaleessa on noin $10^{19}$ vesimolekyyliä. (Niitä laskiessa ei haittaa, vaikka jättäisi vahingossa pari välistä.) Tämä yksi lause riittää hiutaleen painon selvittämiseen peruskemian avulla.

Aloitetaan sanasta vesimolekyyli. $\mathrm{H_2O}$ tarkoittaa, että yhdessä vesimolekyylissä on kaksi vetyatomia ja yksi happiatomi. Näistä puolestaan tiedetään suure nimeltä moolimassa. Mooli tarkoittaa "suunnilleen $6 \cdot 10^{23}$ kappaletta", tarkalleen ottaen atomien määrää 12 grammassa hiili-12-isotooppia. Kukaan ei ole laskenut niitä ihan tarkasti, mutta useimmat kemistit eivät anna sen haitata.

Moolimassa on siitä hyvä yksikkö, että luvut ovat aika järkevän kokoisia käytännön juttuihin. Veden moolimassa on vedyn ja hapen moolimassojen summa

\[ 2 \cdot 1.008~\mathrm{g/mol} + 16.00~\mathrm{g/mol} \approx 18.02~\mathrm{g/mol}. \]

Tämä tarkoittaa kirjaimellisesti, että noin $6 \cdot 10^{23} vesimolekyyliä painaa noin 18 grammaa. Jos mooli korvataan määritelmällään ja kerrotaan hiutaleen molekyylien määrällä, saadaan mukavasti

\[ \frac{18.02~\mathrm{g}}{6 \cdot 10^{23}~\mathrm{kpl}} \cdot 10^{19}~\mathrm{kpl} \approx 0.3~\mathrm{mg}, \]

joka sattuu olemaan aika täydellisen lähellä edellistä tulosta. Hämmästyttävänä juonenkäänteenä kemia toimii! (Spoileri: molekyylien määrä lienee laskettu tekemällä tämä päättely takaperin.)

Eeppinen jakolasku

Lumiukko painaa $24~\mathrm{kg}$. Lumihiutale painaa $0.4~\mathrm{mg}$. Siis lumiukossa on

\[ \frac{24~\mathrm{kg}}{0.4~\mathrm{mg}} \approx 60~000~000~\text{lumihiutaletta}. \]

Koska arviomme olivat kovin karkeita ja ukkoja ja hiutaleita on monenlaisia, lienee turvallisinta sanoa hiutaleita olevan muutaman kymmenen miljoonaa, ehkä satakin miljoonaa kappaletta. Siitä vain laskemaan ja tarkistamaan!

Jotta minäkin saisin leikkiä pikku tutkijaa, selvitin yhden hypoteettisen skenaarion. Entä jos lumihiutaleiden sijasta ukot tehtäisiin kaurahiutaleista? Huipputieteellisen mittaukseni mukaan yhteen teelusikkaan ($5~\mathrm{ml}$) mahtuu 300 jokseenkin hiutaleeksi laskettavaa partikkelia. Siispä koko hahmon tilavuudeksi tulisi

\[ \frac{60~000~000~\mathrm{hiutaletta}}{\frac{300~\mathrm{hiutaletta}}{5~\mathrm{ml}}} = 1~\mathrm{m}^3. \]

Sattumaa vaiko hiutaletehtaan salaliitto? Tilavuuden kymmenkertaistaminen tarkoittaa korkeuden suunnilleen kaksinkertaistumista, joten pallopollalla olisi mittaa tyypillisen huonekorkeuden verran. Pelkästään hiutaleet painaisivat $350~\mathrm{kg}$ ja puuroksi kostutettu mömmö hyvinkin tonnin lisää. En tiedä, pysyisikö ukko kasassa, mutta ainakaan se ei sulaisi Helsinginkään talvessa.