Vaarallinen veikkaus

Mikä luku tulee jonossa $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ seuraavaksi?

1. $31$,
2. $32$,
3. $212$,
4. ei mikään edellisistä.

Vastasit oikein. Näin siitä huolimatta, etten tiedä, mitä vastasit!

Veikkaan, että ilmiselvin vastaus on vaihtoehto B. Kakkosen potensseista muodostuu kiva ja käytännöllinen lukujono

\[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, \ldots. \]

Toisaalta jos vastasit A, ajattelit kenties toista käytännönläheistä ongelmaa. Piirretään ympyrän kehälle pisteitä. Kuinka moneen osaan ympyrän voi enimmillään jakaa pisteiden välille piirretyillä janoilla?

Sopivalla pyörittelyllä, jota en tähän lähtenyt selvittämään, saadaan selville, että $k$ pistettä jakaa ympyrän enintään

\[ \frac{k^4 - 6k^3 + 23k^2 - 18k + 24}{24} \]

osaan, ja siitä seuraa lukujono $1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, \ldots$. Hetken kyllä voisi luulla, että kakkosen potenssit löytyisivät tästäkin!

Vai vastasitko kenties $212$? Erittäin hauska vastaus. Varmaan huomasitkin, että seuraava luku saadaan kertomalla edellisen kukin numero kahdella. Elikkä

\[ 1,\quad 2,\quad 4,\quad 8,\quad 16,\quad 2~12,\quad 4~2~4, \ldots. \]

Vaikuttiko vaihtoehto D parhaimmalta? Olen samoilla linjoilla; omasta mielestäni seuraava luku on ehdottomasti $17$. Olihan alusta asti ilmiselvää, että luvut tulevat kaavasta

\[ -\frac{7 x^5}{60}+\frac{43 x^4}{24}-\frac{61 x^3}{6}+\frac{653 x^2}{24}-\frac{1963 x}{60}+15, \]

joka peräkkäisillä luvuilla tuottaa mitä mieltä ylentävimmän jonon $1, 2, 4, 8, 16, 17, -27, \ldots$.

Tai ehkä kenties tuhahdit, että kysymys on järjetön ja jokainen vaihtoehto tosi. Aivan oikein tällöinkin. Lukujonossa kolmen pisteen tilalla voi olla ihan mitä vain, eikä sen luonteesta kannata veikata yhtään mitään tuntematta sääntöä taustalla. (Toki vaikkapa $1, 2, 3, \ldots$ voidaan yleensä olettaa ilmiselväksi.) Tätä tekstiä varten hain erinomaisesta OEIS-tietokannasta kaikki lukujonot, joissa on kysymyksen viisi lukua siinä järjestyksessä. Samasta listauksesta löytyi myös pidempiä kakkosen potenssien rimpsuja, jotka katkesivat hieman odotetusta eroavaan termiin.

Siinä se tarinan opetus taisikin olla. Tämän takia matemaattinen todistaminen on tärkeää. Jos vain arvaa muutaman esimerkin perusteella (kuulin kerran tätä kutsuttavan teekkarin induktioksi), jo seuraavan kulman takana saattaakin piillä ikävä yllätys!