Lukiomatikan top 3+1

Jatketaanpa vielä uuden lukuvuoden juhlimista toisen top 3 -listan, nimittäin muistelun merkeissä. Tässä tulevat kolme omaa suosikkiani lukiomatematiikasta sekä yksi bonusvinkki lukion aloittajille.

Kirjoitan tätä tietenkin yliopistossa matematiikkaa opiskelevan näkökulmasta, mutta kaikki kolme suosikkia löytyvät jossain muodossa lyhyestäkin matikasta. Yleensäkin tämä on vain oma mielipiteeni, ja ehkä aika on kullannut muistoja ja opetussuunnitelma muutenkin ajanut ohi.

Mitkä ovat omat suosikkisi?

3. Logaritmit

Tämä saattaa kuulostaa vähän oudolta valinnalta, mutta olen kirjoittanut logaritmeista aiemminkin (ks. Logaritmit-kategoria). Logaritmi ja eksponentti ovat viimeiset opittavat peruslaskutoimitukset, ja erittäin hyödylliset sellaiset.

Logaritmeilla ei ole enää samaa merkitystä kuin ennen vanhaan. Aikoinaan 1600-luvulla ne olivat iso juttu laskusäännön \[ \log(ab) = \log a + \log b \] takia. Toisin sanoen: hankalan kertolaskun pystyi muuttamaan yhteenlaskuksi katsomalla taulukkokirjasta tekijöiden logaritmit, summaamalla ne ja katsomalla, mitä lukua tulos vastaa. Aikana ennen laskukoneita tämä oli suorastaan vallankumous. Myöhemmin keksittiin manuaalinen laskukone eli laskutikku (ks. Vaarin laskutikku) ennen kuin päästiin sähköiseen taskulaskimeen.

Teorian puolella logaritmit elävät kuitenkin hyvinvoivina. Menisin jopa niin pitkälle, että väittäisin luonnollisen logaritmin kantaluvun $e$ olevan paljon kiinnostavampi kuin kansikuvavakio $\pi$. Eksponenttifunktioon törmää käytännössä kaikessa, mikä liittyy matemaattiseen analyysiin eli jatkuvien ilmiöiden tutkimukseen. Kun peliin otetaan kompleksiluvut, huomataan esimerkiksi sinin ja kosinin olevan johdannaisia eksponentista.

Aika usein tulen käyttäneeksi logaritmia myös käytännössä. Yhtenä esimerkkinä tilastotieteessä täytyy silloin tällöin derivoida useamman funktion tuloa. Kertolaskun derivointisääntö vain on aika kömpelö. Ottamalla logaritmi olennainen tulos (derivaatan nollakohta) ei muutu, mutta tulo muuttuukin helposti derivoitavaksi summaksi.

2. Analyyttinen geometria

Nyt tulee tunnustus: en oikeastaan pidä geometriasta. Klassinen harppi ja viivain -geometria (ks. Harppi ja viivain) ei vain sytytä minussa sitä intoa, joka joiltakin suorastaan pursuaa yli. Analyyttisen geometrian ja vektoreiden kurssilla tämä ongelma hälvenee jonkin verran, sillä silloin avuksi otetaan yhtälöt.

Tämä on toinen 1600-luvun merkittävä keksintö (fun fact: matikassa päästään 1900-luvulle kunnolla vasta yliopiston maisteriopinnoissa). Ajatella, kaksi täysin erilaista alaa: geometriset muodot ja yhtälönratkaisu! Tästä on matematiikassa nimenomaan kyse, ja myöhempinä vuosisatoina geometrinen yhteys löydettiin muihinkin aloihin.

Vektorit tuntuivat olevan monelle hieman vaikeita, enkä yhtään moiti siitä. Ne ovat aika abstrakti käsite, yksi ensimmäisistä sellaisista lukiossa. Samaan aikaan niistä on paljon konkreettista hyötyä fysiikassa ja vaikkapa tietokonegrafiikassa. Yliopistomatikassa vektoreita käytetään paljon ja niitä voidaan käsitellä vielä abstraktimmin. Eräillä matikan aloilla jopa funktiot tulkitaan ääretönulotteisina vektoreina!

Ääretönulotteisia vektoreita? Tästä lisää ensi viikolla!

1. Derivaatta

Derivaatta eli muutosnopeuden laskeminen sekä integraali, sen vastaoperaatio. Mistä edes aloittaisin?

En ole fyysikko, mutta käsittääkseni valtaosa fysiikasta rakentuu derivoinnin ja integroinnin päälle. Kai nyt, kun tieteenala tutkii aineen ja energian muutoksia. Hyvin monella muullakin alalla kiinnostaa tietää, milloin jokin funktio saa suurimman tai pienimmän arvonsa. Tähän tarvitaan derivaattaa, kuten yllä viitattiinkin. Itse asiassa "optimointiteoria" on yksi laaja matematiikan ala.

Derivaatta johtaa myös differentiaaliyhtälöihin, joissa halutaan ratkaista tuntematon funktio: esimerkiksi yhtälöllä $f'(x) = 2 f(x)$ on ratkaisu $f(x) = C e^{2x}$. Ja nämä taas johtavat vielä laajemmille aloille... Karkeasti veikkaisin, että ainakin puolet matematiikan tutkijoista työskentelee derivaattojen ja integraalien parissa, ja soveltavista matemaatikoista lähes jokainen.

Lisäksi derivaatta on toinen loikka kohti abstraktimpaa. Derivaatta ottaa funktion ja antaa toisen (tietyssä tapauksessa saman) funktion. Se on siis funktio, joka toimii funktioilla. Tämä myöskin liittyy niihin ääretönulotteisiin avaruuksiin, mutta siitä lisää maisteriopinnoissa.

Kaiken lisäksi derivointi ja integrointi on paljon hauskempaa kuin luvuilla laskeminen.

0. Kaikki muu kuin matematiikka

Olen kirjoittanut tästä aiemmin (ks. Lukion tärkein aine) ja aion kirjoittaa siitä nytkin, vaikka kukaan ei ole kysynyt mielipidettäni. On se internet ihana paikka.

Lukiossa parasta on, että se on yleissivistävä oppilaitos. Siitä kannattaa ottaa kaikki ilo irti, koska myöhemmin se on vaikeampaa.

Oma kokemukseni on, että yliopistossa voi valita hyvistä arvosanoista, tavoiteajassa valmistumisesta, sivuaineiden lukemisesta ja mielen hyvinvoinnista ehkä kaksi tai kolme. Eri aineiden kursseilla on taipumusta osua päällekkäin, varsinkin jos ne pidetään eri tiedekunnissa (jopa eri puolilla kaupunkia). Epäilen, että Kielikeskus suorastaan tähtää ranskankurssinsa matikan luentojen päälle.

Yliopistokurssit ovat myös kapeampia ja syvempiä kuin lukiokurssit. Lukio on varmastikin helpoin paikka hankkia perustiedot jostain aineesta.

Siksi vinkkini tulevalle luonnontieteilijälle on: hyödynnä tämä mahdollisuus. Lue niitä aineita, jotka sinua kiinnostavat, mutta älä ota liikaa paineita erikoistumisesta alallesi (vaikka yhteiskunta siihen painostaisikin). Yliopiston ekana vuonna erot lähtötasossa kyllä tasoittuvat. Sen sijaan kaikkea muuta on hankalampi lukea myöhemmin.